warum ist sin(x) = -sin(x+pi)?

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6 Antworten

Hallo,

Pi entspricht einem Winkel von 180° und die Sinuskurve ist punktsymmetrisch zu x=180°.

Das heißt, wenn Du zwei x-Werte hast, die gleich weit von 180° entfernt sind, der eine rechts davon, der andere links, dann entspricht der Funktionswert des einen dem negativen Funktionswert des anderen. Sie sind also gleich weit von der x-Achse entfernt: der eine oberhalb, der andere unterhalb.

Sieh Dir eine Sinuskurve an, dann begreifst Du es.

Herzliche Grüße,

Willy

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Um dir die Sinus- und Cosinusfunktionen zu veranschaulichen, würde ich mir mal den Einheitskreis genauer anschauen und diesen mit den Graphen von Sinus und Cosinus vergleichen.

Nachdem du den Einheitskreis etwas studiert hast, versuche mit diesem vor Augen folgendes nachzufolziehen:

Die Bogenlänge des ganzen Kreises entspricht 2pi (2pi im Bogenmass = 360°). Wenn du also "ein mal um den Kreis herum" gest, bist du bei einem Winkel von 2pi angelangt, aber auch wieder am Ausgangspunkt, also bei 0pi. Demnach ist sin(x)=sin(x+2pi).
Bsp.: sin(1/2*pi)=1 und auch sin(1/2*pi+2pi)=1

Wenn du nun nur die Hälfte des Kreisbogen "zurücklegst", also einen Winkel von 1pi, dann liegt der Cosinus auf der "negativen Seite" des Einheitskreis, also ist cos(x+pi)= - cos(pi). Dasselbe ist beim Sinus, wenn du z.B. von 1/2*pi ausgehst liegt der Sinus im positiven Bereich, wenn du 1pi zum Winkel addierst, landest du auf der Gegenüberliegenden Seite im Einheitskreis, also auf der "negativen" Seite -> sin(x) = - sin(x+pi).

Die letzte Gleichung, cos(x)=sin(x+1/2*pi), kannst du dir auch im Einheitskreis veranschaulichen: nimm dir einen Startpunkt/Startwinkel und sieh dir an, was der Cosinus davon ist, nun gehst du einen viertel-Kreisbogen weiter (entsprich 1/2*pi) und siehst dir den sinus bei diesem Winkel an. Du wirst sehen es ist immer dasselbe.
Bsp.: Ausgangspunkt = 0*pi -> cos(0)=1, sin(0+1/2*pi)=1

Hoffe das ist so einigermassen verständlich, ist etwas schwierig es nur schriftlich erklären zu versuchen...

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Kommentar von jojo97joss
14.01.2016, 19:49

Ich werde mir den Einheitskreis und die Funktion nochmal nebeneinander angucken. Danke für den Tipp und die gute Erklärung! :)

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sin(x)=-sin(x+pi) folgt aus sin(x)=sin(x+2pi), das bedeutet also sin(x) ist 2pi periodisch (wiederholt also nach 2pi seinen Funktionswert).

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Besorge dir ein Mathe-Formelbuch privat aus einen Buchladen,wie z.Bsp.den "Kuchling".Hier sind die Funktionen beschrieben,Formeln und Zeichnungen.Du siehst da sofort die Zusammenhänge.

Die Sinusfunktion ist eine periodische Funktion mit 2 Halbwellen.Die eine Halbwelle ist positiv und die andere Halbwelle ist negativ.deshalb gibt es auch für jeden positiven Wert auch einen negativen Wert.

Beispiel : x= pie /2 eingesetzt y=sin(pie/2)=1

nullstellen bei x=K *pie mit K=0,1,2,3,4,..... Extremstellen bei x=pie/2 +K *pie

mit K=0 Extremstelle bei x=pie/2 wie im Beispiel

mit K=1 ergibt sich eine weitere Extremstelle x=pie/2 + 1 *pie eingesetzt ergibt

y=sin(pie/2 + 1 *pie)=- 1

Dies wiederholt sich immer und immer wieder mit K=0,1,2,3,..

Das selbe gilt auch bei y=cos(x) aus den Mathe.Formelbuch

nullstellen bei pie/2 +K *pie Extremstellen bei x=K *pie

Überprüfe durch Proberechnungen !!

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vielen, vielen dank !

Ihr habt mir super toll geholfen.

Jetzt macht das endlich Sinn :)

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Weißt du denn, wie der Funktionsgraph eines Sinus bzw. Kosinus aussieht?

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Kommentar von jojo97joss
14.01.2016, 19:18

ja, das weiß ich. aber aber irgendwie hilft mir das nicht :/

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