Warum ist jede natürliche Zahle eine reelle Zahl?

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3 Antworten

Weil die Menge der Natürlichen Zahlen eine Teilmenge der Menge der Rationalen Zahlen und diese wiederum eine Teilmenge der Menge der Reellen Zahlen ist.

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Je nach Sichtweise gilt dies u. a. aus zwei Gründen:

1. man fängt mit ℕ als primitiver Struktur an. Man konstruiere die reellen Zahlen als topologische Verfollständigung von ℚ; und ℚ wiederum als kleinsten Körper, der den Ring ℤ enthält, und ℤ wiederum als den kleinsten Ring, der das Monoid (mit Kürzbarkeit) ℕ enthält.

2. man fängt mit ℝ als primitiver Struktur an. Dann bildet man die Teilmenge

ℕ := kleinste Teilmenge von ℝ, die
0 enthält und unter +1 stabil ist.

Dann zeigt man, dass ℕ die Axiome von Peano-Arithmetik erfüllt und sich somit „die natürlichen Zahlen“ nennen lässt, somit enthält ℝ „die natürlichen Zahlen“.

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Beweise das mit vollständiger Induktion.

Jede natürliche Zahl n lässt sich als eine Summe von endlich mal

1 + 1 + 1 + 1... schreiben.

1 ist eine reele Zahl

Wenn n eine relle Zahl ist, dann ist auch n+1 eine reele Zahl, da nach den Körperaxiomen die Summe zweier reeller Zahlen auch eine reele Zahl ist.

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jobro22 29.10.2016, 14:11

Verstanden. Danke dir!

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kreisfoermig 29.10.2016, 17:49

Das ist nich richtig. Du musst zusätzlich beweisen, dass + und • in IR genauso funktionieren wie in IN. Dein Argument geht nur oberflächlich in eine richtige Richtung, ist aber formal betrachtet unvollständig.

Wer hier einwendet: aber + und • seien genauso definiert in IN wie in IR, geht davon aus, dass IR aus IN erzeugt wird, und kann sich somit ein solches Argumentn wie oben aufgeschrieben lassen.

Wer richtig vorgehen möchte, muss beweisen, dass (IN;+,•,0,1) —> (IR;+,•,0,1) ein inkektiver Homomorphismus (eine Einbettung der eine Struktur in die andere) ist.

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