Warum ist folgendes Integral falsch sinh(x)*cosh(x)?

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5 Antworten

Aus den Mathe-Formelbuch "Hyperbelfunktion"

sinh(x) * cosh(y)= 1/2 * ( sinh(x+y) +sinh(x-y)) hier

sinh(x) *cosh(x)= 1/2 * ( sinh(x+x)+sinh(x-x))= 1/2 *sinh(2 *x)

y= sinh(x)= (e^x -e^(-x))/2 mit x=0 ergibt sich e^0 - e^(-0))/2= 0/2=0

Integral ( sinh(x) *cosh(x) *dx= Int. 1/2 * sinh(2*x) dx

Substitution Z= 2*x  abgeleitet z´= dz/dx= 2 ergibt dx= dz/2

eingesetzt  ....= 1/2 *Int sinh(z) * dz/2= 1/4 * Int sinh(z) *dz

ergibt F(x)= 1/4 *cosh( 2*x) + C

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Du musst über die partielle Integration gehen:

Int(f'(x) * g(x))=f(x) * g(x) - Int(f(x) * g'(x))

f'(x)=sinh(x) => f(x)=cosh(x)
g(x)=cosh(x) => g'(x)=sinh(x)

in die Formel einsetzen:

Int(sinh(x) * cosh(x)) = cosh(x) * cosh(x) - Int(cosh(x) * sinh(x))

Rechts steht das gleiche Integral wie links, also rechne + Int(...)

=> 2* Int(sinh(x) * cosh(x)) = cosh²(x)     |:2
=> Int(sinh(x) * cosh(x)) = cosh²(x)/2

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Kommentar von ITanfaenger93
13.07.2016, 19:49

Danke für die Erklärung. Aber warum nicht subsitution? Cos ist doch die Ableitung von sin?

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Kommentar von ELLo1997
13.07.2016, 19:53

Mit Substitution gehts schneller ;-)

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Kommentar von ELLo1997
13.07.2016, 20:35

Ich dachte schon jetz hast du mich aber cosh²x/2 und sinh²x/2 unterscheiden sich nur durch eine additive Konstante. Das heißt, beide sind Lösungen des unbestimmten Integrals. ;-)

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Substitution kannst du bei verketteten Funktionen verwenden, also bei f(u(x)). Hier hast du eine Multiplikation zweier Funktionen: f(x)*g(x). Da geht das nicht auf...

Die Regel: I [a,b] f(u(x)) * u'(x) dx = I [u(a),u(b)] f(u) du

-> Die Ableitung der inneren Funktion muss mit der Verkettung multipliziert stehen (ist ja sozusagen die Kettenregel "rückwärts").

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Kommentar von ELLo1997
13.07.2016, 19:53

Warum sollte man nur verkettete Funktionen substituieren können?

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Kommentar von ELLo1997
13.07.2016, 20:43

Ich denke man kann diese Regel sehr wohl anwenden:
Sei f(x) = x (also die Funktion, die ausgibt was sie bekommt) die äußere Funktion und u(x) = sinhx die innere.
Dann ist  ∫f(u(x)) * u'(x) dx =   ∫ sinhx * coshx dx =   ∫u du.

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Kommentar von ELLo1997
13.07.2016, 22:14

In der Formel steht doch f(u) du und nicht f(u(x)) du, also warum sollte man u(x) meinen
Nichtsdestotrotz danke für deine konstruktiven Kritiken ;-)

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Kommentar von ELLo1997
13.07.2016, 23:02

Ja ich habe nur deshalb gleich eingesetzt, damit man sieht, dass das gleiche rauskommt, wie ich in meiner Antwort gesagt habe.

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Kommentar von ELLo1997
17.07.2016, 16:38

Was ist denn an meiner Formulierung nicht korrekt?^^

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Deine Substitution war schon richtig, aber du hast sie nicht richtig zuende gerechnet.

∫sinh(x)cosh(x)dx.

u = sinh(x), du = cosh(x)dx

= ∫u du = 1/2 u² + c = 1/2 * sinh(x)² + c.

LG

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Die Substitution ist gut, jedoch musst du dann I =  ∫u du lösen, was u²/2 ergibt. Dann noch rücksubstituieren.

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