Warum ist diese Aussage falsch, es gibt doch eine Tangentialbeschleunigung bei einer Kreisbahn?

7 Antworten

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Es soll ja eine Bewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit sein, also eine gleichförmige Kreisbewegung. Darum ist die Tangentialbeschleunigung gleich Null und es gibt nur eine dem Betrag nach konstante Beschleunigung in Richtung des Kreismittelpunktes, die man Zentripetalbeschleunigung nennt.

Ob man von einer Größe, die konstant gleich Null ist, sagen will, daß es sie "gibt", ist Ansichtssache.

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Es gibt aber doch zwei Geschwindigkeiten, ein mal die Winkelgeschwindigkeit und ein mal die normale Geschw : v= w.r, und davon ist nicht die Rede ?

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@grenzenfrei0

> und davon ist nicht die Rede ?

So ist es - denn Du fragtest nach der Tangential-Beschleunigung und nicht nach der Geschwindigkeit. Die gäbe es nur, wenn die Kreisbewegung schneller oder langsamer würde.

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Der Schwerpunkt bewegtsich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit auf einer Kreisbahn.

O.B.d.A. wähle ein 3-D-Koordinatensystem (kartesisch) mit den Einheitsvektoren e(x), e(y), e(z) wobei der Mittelpunkt der Kreisbahn im Ursprung liege und die Kreisbahn in der x-y-Ebene verlaufe und die Drehrichtung im Rechtsschraubensinn mit der z-Achse verknüpft ist. Sei w der Betrag der Winkelgeschwindigkeit, es folgt nun der Vektor der Winkelgeschwindigkeit zu:

w = w e(z) mit w = const.

Der Geschwindigkeitsvektor v des Schwerpunktes folgt nun zu:

v = w x r mit Ortsvektor r des Schwerpunktes

Da die Bewegung auf einer Kreisbahn verläuft ist eine mögliche mit dem Drehsinn konforme Parametrisierung der Kurve gegeben durch:

r(t) = ( R*cos(wt) , R*sin(wt) , 0 )^T mit Zeit t und Radius R

Die Geschwindigkeit folgt nun zu:

v(t) = w x r(t) = w x (R*cos(wt) e(x) + R*sin(wt) e(y))

Einsetzen des Ausdruckes für w und Ausrechnen des Kreuzproduktes liefert:

v(t) = (w e(z)) x (R*cos(wt) e(x) + R*sin(wt) e(y))

= R*w*( -sin(wt) e(x) + cos(wt) e(y) )

Eine besonders anschauliche Position an der man die Richtung des Geschwindigkeitsvektors v zum Ortsvektor r beobachten kann ist bspw. gegeben durch wt = 0:

r(t = 0) = ( R*cos(0) , R*sin(0) , 0 )^T = R e(x)

v(t = 0) = R*w*( -sin(0) e(x) + cos(0) e(y) ) = R*w e(y)

man erkennt, dass der Ortsvektor und der Geschwindigkeitsvektor senkrecht aufeinander stehen. Die Gerade mit Richtungsvektor v im Punkt r ist gerade die Tangente an den Kreis in diesem Punkt.

Im nächsten Schritt berechnen wir nun die Beschleunigung in eben dieser Anordnung unter den gegebenen Bedingungen:

a(t) = d/dt( v(t) ) = d/dt( R*w*( -sin(wt) e(x) + cos(wt) e(y) ) )

die Differentiation wird dabei komponentenweise durchgeführt, mit:

d/dt( sin(wt) ) = w*cos(wt)

d/dt( cos(wt) ) = (-w)*sin(wt)

erhalten wir nun für den Beschleunigungsvektor a :

a(t) = R*w²*( -cos(wt) e(x) - sin(wt) e(y) ) = - R*w²*( cos(wt) e(x) + sin(wt) e(y) )

Wir erhalten also final für die Beschleunigung:

a(t) = - R*w²*( cos(wt) e(x) + sin(wt) e(y) )

Vergleicht man nun die Richtung des Beschleunigungsvektors gegeben durch a(t)/||a(t)|| mit der Richtung des Ortsvektors gegeben durch r(t)/||r(t)|| so folgt:

a(t)/||a(t)|| = (-1)*( r(t)/||r(t)|| )

Der Ortsvektor zeigt nun aber gerade vom Ursprung zu dem Ort auf dem Kreis wo sich zum Zeitpunkt t der Schwerpunkt befindet. Die Beschleunigung zeigt demnach vom Punkt auf dem Kreis wo sich der Schwerpunkt befindet zum Mittelpunkt des Kreises.

Es erfolgt also eine Beschleunigung der bewegten Masse zum Mittelpunkt des Kreises. Tangential zum Kreis erfolgt keine Beschleunigung, daher ist die Winkelgeschwindigkeit w auch konstant.

Ich hoffe die Rechnungen sind verständlich und bildlich genug. Ansonsten schau einfach auch nochmal hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Gleichf%C3%B6rmige_Kreisbewegung

https://www.leifiphysik.de/mechanik/kreisbewegung

oder google einfach mal nach: "Gleichförmiger Kreisbewegung"

Die Richtung der Tangente wäre "geradeaus weiterfliegen". Die Kreis-Beschleunigung erfolgt aber in Richtung Mittelpunkt, genannt radial, und das ist senkrecht zur Tangente.

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