Warum ist die Wurzel aus 5 irrational?

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6 Antworten

1² = 1
2² = 4
3² = 9
...

Da die Folge aufsteigend ist, eine Wurzel aus einer Natürlichen Zahl nur eine Natürliche Zahl oder eine Irrationale Zahl sein kann, ist Wurzel aus 5 irrational.

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Kommentar von slutangel22
15.11.2015, 17:32

Ja, aber wieso kann denn die Wurzel nur natürlich oder irrational sein? Das muss man erstmal zeigen!

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Das ist ein uraltes Problem, meistens findet man das als Frage: Warum ist die Wurzel von 2 irrational?

Man muss sich dazu schon ein bisschen was überlegen. Z.B. so:

Also, nehmen wir mal an, Wurzel aus 2 ist rational, also sqrt(2) = p/q mit irgendwelchen natürlichen Zahlen p und q, alles komplett ausgekürzt. Dann quadrieren wir mal gemütlich auf beiden seiten,

2 = p^2 / q^2

aka

2 q^2 = p^2.

Und das ist jetzt schon komisch, weil p^2 anscheinend den Faktor 2 enthält. Und wenn p^2 den Faktor 2 enthält, dann muss auf p den Faktor 2 enthalten; irgendwo muss er ja herkommen. Also ist p^2 auf jeden Fall auch durch 4 teilbar. Also muss q^2 auch den Faktor 2 enthalten. Also muss q auch den Faktor 2 enthalten. Aber p und q sind ja teilerfremd. HIER STIMMT WAS NICHT!!! Die Annahme ist also verkackt, sqrt(2) kann gar nicht rational sein.

Genau denselben Zirkus kannst du auch mit 5 durchprügeln. (Mit jeder Primzahl, um genau zu sein.)

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Weil es keine rationale Zahl gibt, deren Quadrat 5 ergibt ;-)

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Kennzeichen einer irrationalen Zahl ist es damit, dass sie nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen darzustellen ist.

Nun versuch Mal Wurzel 5 mit Ganzen Zahlen darzustellen. Ich wüsste nicht wie.

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