Warum ist die Wurzel aus 2 keine rationale Zahlen?

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4 Antworten

Hallo,

das beweist man indirekt, indem man behauptet, die Wurzel aus 2 sei eine rationale Zahl und dann zeigt, daß diese Annahme zu einem Widerspruch führt.

Eine rationale Zahl kann als Bruch zweier ganzer Zahlen m und n dargestellt werden.

Wenn also die Wurzel aus 2=m/n, wobei wir diesen Bruch soweit wie möglich kürzen, muß 2=m²/n² sein.

In diesem Fall muß m²=2n² sein, also eine gerade Zahl.

Wenn ein Quadrat aber eine gerade Zahl ist, muß auch seine Wurzel eine gerade Zahl sein, denn das Produkt zweier ungerader Zahlen ergibt immer eine ungerade Zahl. Wenn m aber eine gerade Zahl ist, muß m²=m*m eine durch 4 teilbare Zahl sein.

Da n² die Hälfte von m² ist und m² durch 4 teilbar, muß auch n² eine gerade Zahl sein. Dann gilt für n² aber das Gleiche wie für m²: Ist n² gerade, muß auch n gerade sein.

Wir hatten aber vorausgesetzt, daß es sich bei dem Bruch m/n um einen Bruch handelt, der soweit wie möglich gekürzt wurde. Zwei gerade Zahlen lassen sich aber noch mindestens durch 2 kürzen.

Somit führt die Annahme, die Wurzel aus 2 sei durch einen Bruch zweier ganzer Zahlen darstellbar und damit eine rationale Zahl, zu einem Widerspruch.

Daraus folgt, daß die Wurzel aus 2 keine rationale Zahl ist.

Herzliche Grüße,

Willy

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Weil sie nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann.

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Kommentar von Willy1729
17.01.2017, 22:02

Das ist richtig, läßt aber die Frage offen, wieso sie nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann.

Herzliche Grüße,

Willy

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Ganz einfach ,sie hat unendlich viele Nachkomma stellen.

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Kommentar von Willy1729
17.01.2017, 22:03

Woher weißt Du das? Hast Du das überprüft?

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Weil keine rationale Zahl mit sich selbst multipliziert 2 ergibt.

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Kommentar von Willy1729
17.01.2017, 22:02

Das müßte dann allerdings bewiesen werden.

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