Warum ist die wurzel aus 2 irrational, einfach erlärt?

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8 Antworten

Hier der mathematische Beweis, dass SQRT(2) irrational ist.

Wenn SQRT(2) eine rationale Zahl wäre, könnte man sie als Bruch schreiben. Wir nehmen an, wir hätten einen vollständig gekürzten Bruch (also Zähler und Nenner teilerfremd) dessen Wert SQRT(2) ist.

Also gibt es ganze Zahlen p, q mit SQRT(2) = p/q   mit p,q teilerfremd.

Dann wäre 2 = (p/q)²    2q² = p²

Weil p² = 2q² ist p² durch 2 teilbar.

weil p² eine Quadratzahl ist muss der Primfaktor 2 mindestens 2 mal in der Zerlegung von p² vorkommen. Also ist p² mindestens durch 4 teilbar

es gibt also natürlichr Zahl m mit p²=4m 

Dann gilt 4m = 2q²    2m = q². Wie oben können wir folgern, dass q durch 2 teilbar ist. Das ist aber ein Widerspruch zur Annahme, dass p und q teilerfremd sind. Damit haben wir die Annahme, dass SQRT(2) eine rationale Zahl ist zum Widerspruch geführt.

Also kann SQRT(2) keine rationale Zahl sein. 

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Weil die Zahlenfolge, wie auch zum Beispiel bei PI, unendlich lang ist und keine periodischen Wiederholungen enthält. Sie kann also nicht als Bruch aus zwei ganzen Zahlen dargestellt werden und auch nicht abgekürzt werden.

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Um eine Wurzel auszurechnen, bedient man sich u.a. einer Intervallschachtelung, die mit Zugriff von oben und unten z.B. bei √9 bei 3 landet.

Bei √2 landet sie aber bei keiner Zahl (bzw. Bruch), sondern du kannst schachteln, so oft du willst, es kommt kein vernünftiges Ende. Daher ist die Zahl gewissermaßen unvernünftig, auf lateinisch:
irrational.

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Kommentar von clemensw
30.09.2016, 10:36

Falsche Herleitung - Ratio bedeutet hier nicht Vernunft, sondern VERHÄLTNIS. 

Eine rationale Zahl kann als Verhältnis zweier ganzer Zahlen dargestellt werden, d.h. als Division oder Bruch, z.B. 3/2

Bei irrationalen ("keinem Verhältnis entsprechend") Zahlen ist das nicht möglich. 

Es gibt auch rationale Zahlen, deren Dezimalschreibweise kein "vernünftiges" Ende hat, z.B. 3/77 = 0,038961039...

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Ganz einfach erklärt, sind irrationale Zahlen die Zahlen, welche man nicht als Bruch schreiben kann.

Da die Wurzel aus 2 eine Zahl mit Unendlich vielen Kommastellen ist, kann man sie unmöglich als Bruch schreiben. Daher ist die Wuzel aus 2 irrational :)

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Weil sie sich nicht als Bruch darstellen lässt. Sie hat eine unendliche, nichtperiodische Nachkommastellung.

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Wenn du versuchst, die Zahl durch einen einfachen Rechenweg auszudrücken, wirste irre.

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Kommentar von DietmarDreist
30.09.2016, 09:54

Sie ist irrational, weil sich beweisen lässt, dass sie durch keinen teilerfremden (also gekürzten) Bruch ausdrücken lässt. 

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Kommentar von Volens
30.09.2016, 15:33

@Mojoj:
Schönes Wortspiel -
so wie früher mal Irredentisten.

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Alle Wurzel von Primzahlen sind irrationale Zahlen.

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