Warum ist die Voraussetzung für eine harm. Schwingung ein lin. Kraftgesetz?

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3 Antworten

Das Wort harmonisch ist in diesem Zusammenhang einfach so definiert, dass ein lineares Kraftgesetz zu einer solchen führt. Dies führt im Übrigen - falls die Schwingung nicht gedämpft ist - dazu, dass die Schwingungsdauer unabhängig von der Auslenkung ist, wie man leicht ausrechnen kann.

Ein Gegenbeispiel ist das Fadenpendel. Es hat ein nichtlineares Kraftgesetz und entspricht nur sehr bedingt näherungsweise einer harmonischen Schwingung - je kleiner der Auslenkungswinkel, desto besser entspricht die Schwingung diesem.

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Ist die Kennlinie des Systems nichtlinear, dann entstehen Potenzen der Sinus/Cosinus-Funktion, und die sind wiederum nach den Regeln der Mathematik, Sinus/Cosinus-Funktionen von Vielfachen der Grundfrequenz.

Die Potenzen entstehen deshalb, weil eine nichtlineare Kennlinie sich, außer dem linearen Teil, aus einer Taylorreihe von Potenzfunktionen quadratischer und höherer Ordnung zusammensetzt.

Nehmen wir das quadratische Glied der Kennlinie. Es führt dazu, daß ein Sinus-Quadrat entsteht. Und im Sinus-Quadrat steckt, wenn man es nach den Regeln der trigonometrischen Funktionen umformt, der Cosinus der zweifachen Grundfrequenz:

sin²(ωt) = (1/2) (1 - cos(2ωt))

Je krummer die Kennlinie, um so stärker sind diese und die höheren Potenzen in der Taylorreihe vertreten, und um so größer sind entsprechend die Amplituden der Schwingungsanteile mit der 2-, 3- oder n-fachen Frequenz.

Man nennt diese Anteile auch Oberschwingungen, in der Akustik nennt man sie Obertöne. (Und, nicht verwirren lassen: man nennt sie die "Harmonischen", obwohl sie eben aus keinem harmonischen Oszillator kommen und nicht aus einer harmonischen Schwingung entstehen.)

Siehe in der Wikipedia:

  • Taylorreihe
  • Formelsammlung Trigonometrie, Abschnitt "Potenzen der Winkelfunktionen"
  • Harmonische
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Ja, der Denkansatz ist richtig: Bei solch einer Differentialgleichung braucht man ja eine Funktion, die sich nach zweimaliger zeitlicher Ableitung im Wesentlichen (d.h. bis auf Faktoren/Vorzeichen) selbst reproduziert. Das leisten Sinus/Cosinus, Exponentialfunktion (-> gedämpfte Schwingung) und die triviale Lösung (Nullschwingung). Wobei Sinus/Cosinus mit komplexen Zahlen als Spezialfälle der Exponentialfunktion dargestellt werden können.

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Kommentar von Badum420
02.04.2016, 00:05

Okay das habe ich verstanden. Ich suche aber auch noch nach einem logischen (am besten nicht sehr abstraktem) Ansatz. Wie z.B Kraft ist F=m*a, da man für mehr Masse mehr Kraft benötigt^^. Ich hoffe du verstehst mich^^

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