warum ist die verdopplung (multiplikation mit 2) im binärsystem ganz einfach?

9 Antworten

Beispiele kannst du haufenweise unten finden. Hier hingegen ein vollständiger Beweis. Man betrachte zunächst eine beliebige Zahl und stelle dies zur Basis 2

d⁽ⁿ⁾ … d⁽¹⁾d⁽⁰⁾

dar. Hierbei ist ≥ 0 eine natürliche Zahl und d⁽ᵏ⁾ ∈ {0; 1} für alle k. Diese Darstellung korrespondiert mit der Zahl

∑ d⁽ᵏ⁾2ᵏ  Summe über k von 0 bis n.

Mithilfe dieser Darstellung erhält man

(d⁽ⁿ⁾ … d⁽¹⁾d⁽⁰⁾) x 2 = (∑ d⁽ᵏ⁾2ᵏ) · 2
= ∑ d⁽ᵏ⁾ 2ᵏ·2
= ∑ d⁽ᵏ⁾ 2ᵏ⁺¹ Summe von k=0 bis n
= ∑ d⁽ᵏ¯¹⁾2ᵏ Summe von k=1 bis n+1
= ∑ e⁽ᵏ⁾2ᵏ Summe von k=0 bis n+1
wobei e⁽⁰⁾=0
und e⁽ᵏ⁾=d⁽ᵏ¯¹⁾ für k=1 bis n+1
= e⁽ⁿ⁺¹⁾ … e⁽²⁾e⁽¹⁾e⁽⁰⁾
= d⁽ⁿ⁾ … d⁽¹⁾d⁽⁰⁾0

Darum (d⁽ⁿ⁾…d⁽¹⁾d⁽⁰⁾) x 2 = d⁽ⁿ⁾ … d⁽¹⁾d⁽⁰⁾0.

Symbolisch muss man bei Multiplikation mit der Basiszahl also lediglich eine Null dranhängen. Der Beweis dafür stell oben ausführlich berechnet. Der Beweis lässt sich übertragen für alle Basen und die Schlussfolgerung ist dieselbe.

Da jede Stelle das n-fache der Stelle rechts von ihr ist, ist die Multiplikation einfach ein Linksschieben, wenn die Zahlenbasis n ist. Es findet so jedes mal eine Multiplikation mit 10 (in der jeweilen Zahlenbasis) statt.

Bsp.:

Basis 2 => Stellenwerte 2^4 - 2^3 - 2^2 - 2^1 - 2^0

01010 * "2" = 10100

Basis 3 => Stellenwerte 3^4 - 3^3 - 3^2 - 3^1 - 3^0

01212 * "3" = 12120

und so weiter


Basis 12 => Stellenwerte 12^4 - 12^3 - 12^2 - 12^1 - 12^0


01234 * "12" = 12340

Die "" bedeuten, das das nicht in der selben Zahlenbasis ist. "2" = 10 (Zahlenbasis 2)

"3" = 10 (Zahlenbasis 3)

"12" = 10 (Zahlenbasis 12)

Das ist ähnlich wie im Dezimalsystem die Verzehnfachung.

Wenn du eine Zahl mal 10 nimmst dann hängst du einfach hinten eine Null an bzw schiebst das Komma und eine Stelle nach Rechts.

also 123 mal 10 = 1230

bzw:

12345,6789 mal 10 = 123456,789

Im Binärsystem arbeitest du aber mit Basis, jede STelle ist also zweimal so viel Wert wie die nächstniedrigere Stelle.
Und da machst du das im Grunde genau so, du hängst hinten eine Null an

also 1011 (binär) *2 = 10110
Dezimal geschrieben 11 * 2 = 22.. passt

Du erklärst nicht, warum das so ist.

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@SchakKlusoh

Also ein wenig Denkvermögen muss man beim Fragenden schon voraussetzen. Und ich kann nicht immer bei Adam und Eva anfangen

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