Warum ist die Summe zweier irrtionaler Zahlen wieder eine irrationale Zahl, wie beweist man das?

Das kann man NICHT beweisen, weil's NICHT stimmt ;-)
Die Summe von zwei irrationalen Zahlen ist NICHT zwangsläufig irrational!
Die kann auch rational sein.

Bsp:
1.) √2 und -√2 sind beide irrationale Zahlen,
aber √2 + (-√2) = 0 und 0 ist rational

2.) π, -π und -π+1 sind irrationale Zahlen,
aber π + (-π+1) = 1 und 1 ist rational.