Warum ist die Stammfunktion von ** f(x)=x^-1** gleich **F(x)=ln([x])**?

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4 Antworten

  Ich zitiere das ZDF Telekolleg; Prof ===> Neunzert.

   WEIL DAS SO DEFINIERT IST .

   Oder frag doch deinen Pauker, wie der die Funktion " ln " definiert.

   Schon oft hat die Uni das Bild " vom Kopf auf die Füße " gedreht; was normale Menschen beweisen, setzt die Uni als Definition voraus.
 Und was du unbesehen glaubst, wird bewiesen. Genau bei diesem Beispiel wirst du sehen, was dir das bringt. Ich definiere also

                      x

  ln ( x ) :=     $  1 / x  dx   ;  x  >  0      (   1.1  )

                     1

     erste elementare Folgerungen

    ln  (  x  )  <  0  ;  x  <  1     (  1.2a  )

    ln  (  1  )  =  0      (  1.2b  )

    ln  (  x  )  >  0  :  X  >  1    (  1.2c  )

   Ich schick lieber ab und schreibe noch eine ausführliche Ergänzung, weil dieser Editor so instabil ist.

  Die Hypotek, die wir uns aufbürden. Jetzt müssen wir die ganze Formelsammlung rauf und runter beweisen; denn wenn wir auch nur eine Formel nicht reproduzieren können, kann das, was wir da definiert haben, nicht Logaritmus sein. Beginnen wir doch  mit der berühmten ===> Funktionalgleichung

    ln  (  a  x  )  =  ln  (  a  )  +  ln  (  x  )   (  2.1  )

   Wie sieht der Beweis aus? Wir intressieren uns für die Funktion

  f  (  x  ;  a  )  :=  ln  (  a  x  )    (  2.2a  )

   Was könnte ihre Ableitung sein? Nun; Definition ( 1.1 ) und Kettenregel beachten

  f  '  (  x  )  =  ( 1 / a x )  *  a  =  1 / x     (  2.2b  )

   ( 1.1 ) und ( 2.2a ) haben die selbe Ableitung; unterscheiden sich demnach nur um eine Integrationskonstante C  

  ln  (  a  x  )  =  ln  (  x  )  +  C    (  2.2c  )

   C ermittelst du, indem in ( 2.2c ) gesetzt wird x = 1 unter freundlicher Beachtung von ( 1.2b ) Der Beweis von ( 2.1 ) folgt dann fast von selbst, wenn du das gefundene C  rückwärts einsetzt in ( 2.2c )

   Ein Schulbeispiel glänzenderA nalysis. Die Definition geht aus von dem Hauptsatz; zur Anwendung kommen elementare Ableitungsregeln so wie Algebra allgemeinster Art.

   Gleich als nächstes macht sich Neunzert Gedanken über die e-Funktion := Umkehrfunktion des Logaritmus. Ganz so sorglos wie in der Schule dürfen wir das aber nicht betreiben; du weißt: Wir haben zu zeigen surjektiv und treu.

   ( Nicht nur ihr könnt Deutsch mit eurem ewigen " Hochpunkt " statt Maximum; ich kann es auch. Eine Funktion ist nicht " injektiv " , sondern treu . )

   Rein von der Definition her ist die Ableitung von ( 1.1 ) stets positiv: Logaritmus ist eine streng monoton wachsende Funktion. Bleibt die Frage nach der Surjektivität, womit ich eine neue Lerneinheit beginnen will - Teil 3 .

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@gilgamesch4711

  Wie ich euch schon sagte, bin ich Lycosianer der ersten Stunde; wer bei dem Konkurrenzportal ===> Lycos nicht schon 4 711 Mal deaktiviert ist, verfügt nicht wirklich über Sachwissen und hat wohl auch keinen Anstand.

   Bei Lycos tummelt sich User " Ikro " ; ein Studienrat mit Fachrichtung Mathe / Chemie. Man sagt ja allgemein, Lehrer haben zu viel Zeit ... Also während meiner aktiven Phase als Programmierer in der elektronischen Industrie war ich abends und am Wochenende viel zu müde für derartige Spielchen.

   Ich bin bei Leibe weder Feminist noch Frauenversteher. Aber dieser Ikro trat dadurch unangenehm in Erscheinung, dass er Schülerinnen im Netz mit Verbalinjurien bedachte unter der Begründung, diese " beherrschen die Vorzeichenregeln nicht "  Die Freude, die ja bekanntlich die reinste ist, nämlich die Schadenfreude, stellt sich dann sofort ein, wenn der Knabe selbst keine Ahnung von Matematik hat. So verwechselte er konstant BILD und  ZIELMENGE einer Abbildung. Also da sehe ich eine Alternative. Entweder du hast es begriffen. Dann machst du es immer RICHTIG . Oder du hast es eben nicht kapiert; dann hast du keine Chance, jemals das Richtige zu treffen.

   Es darf da bei euch keine Mistverständnisse geben, wenn wir über den Begriff der Surjektivität sprechen. Zielmenge der Logaritmusfunktion ist |R , ALLE reellen Zahlen. Denn wegen ( 1.2a-c ) müssen wir darauf vorbereitet sein, dass die Fläche unter der Hyperbel einen beliebigen ( positiven oder negativen ) Wert annimmt; bei der Definition einer Abbildung sollte man ihre Zielmenge ( Wertebereich ) eher großzügig zu groß bemessen.

   Dagegen das Bild der Logaritmusfunktion bestünde aus allen y , für die tatsächlich die Gleichung erfüllt ist

   (E)  x  |  y  =  ln  (  x  )     (  3.1a  )

   Man kann es auch so sagen: Jede Abbildung ist trivial surjektiv auf ihrem Bild. Aber wir meinen eben etwas anderes; wir hätten gerne

       ln  (  |R+  )  =  |R       (  3.1b  )

   mit |R+ gleich Definitionsbereich; hatten wir in ( 1.1 ) gesagt.Logaritmus besitzt nur dann eine Umkehrfunktion,  wenn es surjektiv auf |R ist.

   Neunzert weist nun darauf hin, dass diese ganze Problematik die ===> uneigentlichen Integrale berührt. Nimm etwa als Gegenbeispiel

   f  (  x  )  :=  1 / x ²     (  3.2a  )

   " Der ihr " uneigentliches Integral existiert:

   ( ° °  )

      $       f ( x ) dx  =  1     (  3.2b  )

      1

  

    Das heißt die Aufleitung von ( 3.2a ) kann unmöglich surjektiv sein, weil sie nach Oben beschränkt ist. Und genau dieser Unfall passiert bei Logaritmus nicht. Nimm einmal ein x0 > 1 her, z.B. x0 = 2 . Dann folgt aus Funktionalgleichung ( 2.1 ) durch vollständige Induktion ( beachte ( 1.2c ) )

     ln  (  x0  ^  n  )  =  n  ln  (  x0  )  (  3.3  )

     Was Neunzert nicht eigens anspricht; die ===> Archimedische Ungleichung . Zu jedem M > 0 ; M € |R lässt sich ein geeignetes n finden so dass die rechte Seite von ( 3.3 ) größer wird als dieses M .

   Was Neunzert leider ausklammert. Wir dürfen auch nicht vermeinen, dass Integrale in einen " negativen Abgrund " abstürzen, so bald eine Funktion in ihrer Singularität unbeschränkt fällt. Betrachte etwa das Gegenbeispiel

    f  (  x  )  =  1 / sqr ( x )       (  3.4a  )

   Hier dreht es sich darum, dass ihr uneigentliches Integral existiert, obgleich sie singulär wird:

     0

     $   f ( x )   dx   =  (  -  2  )         (  3.4b  )

     1

     ( 3.4b ) dient uns als Warnung, dass ja  das Bild des Logaritmus immer noch nach Unten beschränkt sein klönnte. Als Gegenstrategie schlage ich die Identität vor

    ln  ( 1 / x )  =  -  ln  (  x  )      (  3.5  )

   Durch ===> Inversion am Einheitskreis wird somit die Situation bei x < 1 zurück geführt auf das bereits gelöste Problem x > 1 .

   Ich schick wieder ab -  genau nachdem ich meine erste Ergänzung abgeschickt hatte, war ich auch schon wieder ausgeloggt. Es folgt noch ein Teil 4 .

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@gilgamesch4711

   Ich musste mich schon wieder einloggen. Mühsam ernährt sich das Eichhörnchen.

   Wir wissen jetzt, dass die e-Funktion existiert

  exp  :  |R  ===>  |R        (  4.1a  )

   exp  :=  ln  ^ -1    (  4.1b  )

   Insbesondere weist Neunzert auf die Zahl e hin

   e  :=  exp  (  1  )      (  4.2  )

   Wie man ihre Ableitung bildet, wurde ja hier schon beantwortet.

   y  :=  exp  (  x  )   |  ln        (  4.3a  )

  ln  (  y  )  =  x    (  4.3b  )

    jetzt ableiten

   y  '  /  y  =  1   |  *  y      (  4.3c  )

    Es folgt der Prototyp aller linear homogenen ===> Differenzialgleichungen ( DGL )

     y  '  =  y    (  4.3d  )

   Aber nicht um DGL war es Neunzert in seiner Vorlesung zu tun; er greift ein Stück Allgemeinbildung auf. Wir alle benutzen die zweistellige Funktion

  f ( x ; y ) := x ^ y  ; x , y € |R  ;  x > 0    (  4.4  )

   Bevor wir uns in diese vertiefen können, benötigen wir aus technischen Gründen noch die Entsprechung von Funmnktionalgleichung ( 2.1 ) für die e-funktion

  exp  (  x  +  y  )  =  exp  (  x  )  exp  y  )    (  4.5  )

   Hier wer kennt sich mit ===> Gruppen in der Algebra aus? Hinter ( 2.1 ) verbirgt sich doch nichts weiter als die Aussage, dass " Logaritmus " einen Gruppen ===> Isomorphismus darstellt, der die Gruppe ( |R+ ; * ) ( also positive Zahlen mit Multiplikation ) umkehrbar eindeutig abbildet auf ( |R ; + ) ( alle reellen Zahlen mit Addition. ) Dass beide Gruppen 1 : 1 im Wesentlichen das Selbe sind, darauf beruhte ja die Logaritmentafel ( Früher musste man ja noch eigenfüßig mit Asterix auf Wildschweinjagd gehen; siehe hierzu die SF-Story " der Minimalforscher " )
   Der wesentliche Wert der Logaritmentafel vor Erfindung des Solarrechners bestand darin, dass mit ihrer Hlfe aus jeder DIVISION eine SUBTRAKTION wurde.  Und ( 4.5 ) beweisen wir, indem wir uns auf allgemeinste Gruppenteorie berufen: die Umkehrung eines Isomorphismus ist selbst wieder ein Isomorphismus.

   doch zurück zu ( 4.4 ) ; wir definieren

  x  ^  y  :=  exp  [  y  ln  (  x  )  ]    (  4.6a  )

  ( 4.6a ) ist wohl definiert, weil wir in ( 4.4 ) eigens verlangt hatten, x solle positiv sein. Dann folgt insbesondere für konstantes r

   y  =  f  (  x  ;  r  )  :=  x  ^  r   |    ln   (  4.6b  )

   ln  (  y  )  =  r  ln  (  x  )   (  4.6c  )

   Dies abgeleitet ergibt

   y  '  /  y  =  r / x    |  *  y   (  4.6d  )

   y  '  =  r  y  / x  =  r  x  ^  (  r  -  1  )     (  4.6e  )

  Diese Technik, die wir angewandt haben in ( 4.3a-d ) und noch einmal in ( 4.6b-e ) , heißt ===> logaritmisches Differenzieren. Insbesondere wenn sich Schüler fragen, ob sich Ableitungsregel ( 4.6e ) nicht für alle r € R mit einem elementar einsichtigen Verfahren her leiten lässt, so  lautet die Antwort Ja. Matematik denkt immer Bottom-Up; ich  kann nichts hinein konstruieren, was nicht scho´n von Anfang an wohl definiert ist. Und wir haben ja gesehen, was Potenzen mit beliebigen reellen Exponenten sein sollen.

  D.h. wir stellen uns nicht die Frage, wie reelle Exponenten die ganzzahlige Situation interpolieren könnten. Mit Neunzert fragen wir umgekehrt; ist unser Potenzbegriff vereinbar mit demjenigen, den wir von den ganzen Zahlen gewohnt sind? Und zwar wird das da induktiv bzw. rekursiv erledigt; manche Pascalprogramme sind ja so gestrickt:

   x  ^  0  :=  1     (  4.7a  )

   x  ^  (  n  +  1  )  :=  x  *  x  ^  n    (  4.7b  )

   Hinweis; aus ( 4.5;6a )  folgt

   x  ^  (  y  +  z  )  =  x  ^  y  *  x  ^  z     (  4.7c  )

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Es sei
f(x)=ln(x)
Gesucht: f′(x)=[ln(x)]′.
Der natürliche Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion und umgekehrt, also:
e^f(x)=x
Wir leiten beide Seiten der Gleichung ab:

(e^f(x))'= e^f(x)*f'(x)=1

daraus folgt f'(x)=1/x

Da die Ableitung vom ln 1/x ist, ist die Stammfunktion von 1/x der ln.

Da gibt es eine Herleitung, wo du 1/x als 1*1/x darstellst und partiell integrierst. So kommst du dann auf lnx. Is bissi kompliziert. Ich weiß es nimmer so genau. 

Oder war es anders herum, dass man lnx*1 mit der Produktregel differenziert? Irgendwie so  

Weil die Ableitung von ln(x) 1/x ist.

Jetzt macht das Sinn. Danke!

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