Warum ist die Reihenfolge beim Zusammenzählen egal?

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4 Antworten

Nicht so einfach. Erstmal musst du sagen, auf welcher Menge du denn die Addition betrachtest. "Zählen" kann man streng genommen nur mit natürlichen Zahlen - oder etwas weiter gefasst - mit ganzen Zahlen. Jetzt hängt es davon ab, wie du diese Zahlen zunächst einmal definierst. Üblicherweise macht man das über die Peano-Axiome. Wenn man die hat, kann man das Kommuntativgesetz daraus ableiten, d. h. es ist beweisbar und kein Axiom. Diesen Beweis findest du etwa hier: http://www.matheplanet.com/default3.html?call=article.php?sid=316 hier.

In einem anderen Zusammenhang ist das Kommutativgesetz ein Axiom - dann nämlich, wenn ich eine bestimmte mathematische Struktur z. B. eine abelsche Gruppe definieren will. Da ist eines der Axiome das Kommutativgesetz. Habe ich also eine Gruppe und nehme zwei Elemente dieser Gruppe, dann muss ich nichts mehr beweisen, dort gilt das Kommutativgesetz. Andersherum muss ich aber das KG beweisen, wenn ich zeigen will, dass eine bestimmte Menge (etwa die ganzen Zahlen) eine Gruppe sind.

Ein Axiom ist ein Grundsatz einer Theorie, einer Wissenschaft oder eines axiomatischen Systems, der innerhalb dieses Systems nicht begründet oder deduktiv abgeleitet wird. Ein Axiom ist also eine Lücke eines Systems, ein Mangel, denn die Begründung fehlt.

Ich kann mich noch an den Beweis aus meiner Studienzeit erinnern. Das ging über eine vollständige Induktion, die geschachtelt war in einer anderen vollständigen Induktion. Das war mal eine Übungsaufgabe, die ich gelöst habe.

Aber warum so kompliziert? Warum erst so viele Peano-axiome aufstellen, um ein anderes Axiom zu beweisen? Geht das nicht auch einfacher, intuitiver? So dass auch ein Erstklässler selbst das nachvollziehen kann, vielleicht sogar das Gesetz selbst entdeckt?

Ich habe meinem Kind das zählen beigebracht, in dem ich die Treppenstufen zum Kindergarten gezählt habe. Dabei habe vor der ersten Stufe mit '0' angefangen, auf der ertsten dann '1' usw.. (Die '0' wird leider von vielen vergessen). Es sind viele kleine Treppen, mit unterschiedlichen Zahlen. Aber es spielt keine Rolle, ob man die Treppe von oben nach unten oder von unten nach oben läuft. Warum?

Ich denke wenn man wirklich verstanden hat, warum die Zahl der Stufen nicht davon abhängt, in welche Richtung man die Treppe läuft, hat man schon den ersten Schritt gemacht, um das Kommutativgesetz zu verstehen.

Beim Zählen werden alle Stufen gleich behandelt. Das ist der entscheidende Punkt. Deswegen spielt die Reihenfolge keine Rolle, eben weil alle gleich sind. Das steckt pure Logik dahinter. Intuitive Logik, die absolut schlüssig ist. Ganz ohne Papier und Stift läßt sich so Mathematik direkt begreifen.

Was ist jetzt mit dem Zusammenzählen? Das sind dann eben zwei Treppen, deren Stufen zusammengezählt werden. Auch hier spielt die Reihenfolge beim Zusammenzählen keine Rolle.

Oder anderes Beispiel: Ein Kind hat einen roten und einen blauen Beutel, in dem Murmeln sind. Es kann zuerst den roten Beutel und dann den blauen Beutel auf einen Haufen schütten. Oder es kann zuerst den blauen Beutel und dann den roten Beutel auf einen Haufen schütten. Aber in jedem Fall sind gleich viele Murmeln auf dem Haufen. Und das weiß auch das Kind. Also gilt (Menge Murmeln aus rotem Beutel + Menge Murmeln aus blauen Beutel) ist das gleiche wie (Menge Murmeln aus blauen Beutel + Menge Murmeln aus rotem Beutel). Statt Menge kann man auch Anzahl schreiben.

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@Maimaier

Natürlich ist das Kommutativgesetz im elementare Rechnen sofort einsehbar. Natürlich kannst du alle Gesetze (Assoziativgesetz, Kommutativgesetz und sogar das Distributivgesetz) durch Legeaufgaben sofort plausibel machen. Und dann versteht man das auch, wie man viele Dinge in der Mathematik durch geeignete Beispiele hervorragend erklären und verständlich machen kann, intuitiv eben.

Gefragt hast du aber nach der Beweisbarkeit. Und ja - innerhalb einer Menge, die die Peanoaxiome erfüllt und in der die Addition entsprechend definiert ist, kannst du das Kommutativgesetz beweisen.

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"Weil die Reihenfolge beim Zählen egal ist."?

Also erstmal ist das zu ungenau. Welcher Zusammenhang und was zählst du und wie viele?

Es gibt beispielsweise unendliche Reihen, bei denen unterschiedliche Ergebnisse rauskommen, wenn man sie unterschiedlich zusammenzählt, obwohl es dieselben Zahlen sind.

Das ist nicht beweisbar, sondern ein Axiom.

Warum sollte das Kommutativgesetz nicht beweisbar sein? Läßt es sich nicht ableiten als a) zusammenzählen -> b) zählen -> c) gleichwertigkeit aller elemente einer menge? logisch zwingend?

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Es ist eine Festlegung, genau so wie beim Produkt.

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