Warum ist die Quersumme so vieler Quadratzahlen ab 81 auch wieder quadratisch?

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4 Antworten

Mathematisch korrekt müßtest Du von der Quersumme der Dezimaldarstellung sprechen, also genau genommen einem Spezialfall. Schon von daher ist es unwahrscheinlich, daß ein zahlentheoretisches Theorem dahinter steckt.

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ich bin kein mathematiker aber ich bezweifle, dass dies einer regel folgt, aus dem einfachen grund, dass das phaenomen nach der reihe, die du aufgefuehrt hast, ja auch schon wieder zu ende ist. d. h. es sind lediglich die quadratzahlen von 9 - 15, die lueckenlos in der quersumme ebenfalls eine quadratzahl ergeben. 

ich lasse mich aber gern belehren, wenn jemand das besser weiss.

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Das ist reiner Zufall.

Schon die Tatsache, dass dies nur für Quadratzahlen im Intervall [81; 225], zeigt, dass das keine Regel ist.

Hier die Quersumme der ersten 25 Quadratzahlen:

1 ⇒ 1
4 ⇒ 4
9 ⇒ 9
16 ⇒ 7
25 ⇒ 7
36 ⇒ 9
49 ⇒ 13
64 ⇒ 10
81 ⇒ 9
100 ⇒ 1
121 ⇒ 4
144 ⇒ 9
169 ⇒ 25
196 ⇒ 25
225 ⇒ 9
256 ⇒ 13
289 ⇒ 19
324 ⇒ 9
361 ⇒ 10
400 ⇒ 4
441 ⇒ 9
484 ⇒ 16
529 ⇒ 16
576 ⇒ 18
625 ⇒ 13

Es ist offensichtlich, dass dahinter keine triviale Regel steht.

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach. 

LG Willibergi 

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Kommentar von kepfIe
15.08.2016, 10:06

Zieht sich die Reihe 1 4 9 7 7 9 4 1 9 durch alle Quadratzahlen (wenn man die Quersummen konsequent bis auf eine Stelle runterrechnet)?

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Kommentar von Suboptimierer
15.08.2016, 10:15

Wenn man die Quersummen so oft rekursiv bildet, bis nur noch eine Stelle übrig bleibt, sind wir in deiner Liste entweder bei 1, 4, 7 oder 9. Zufall?

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Weniger interessant sind Bereiche, die nach Quadrieren und Quersumme manchmal wieder Quadratzahlen ergeben.
wie der Iterationsrechner zeigt:

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm##@Ni=0;@N@Bi]=@Pi+8,2);@Ci]=QuerSum(@Bi]);aD[i]=QuerSum(@Ci]);while(aD[i]%3E9)%20aD[i]=QuerSum(aD[i]);@Ni%3E1e5@N0@N0@N#

(LINK endet mit N#) siehe Bild 1
sondern dass sich nach rekursiver Quersummenbildung die einstellige Periode
1,9,1,4,9,7,7,9,4
herausbildet. -> Bild 2

Bekannte Folge:

http://oeis.org/A056992

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Kommentar von hypergerd
15.08.2016, 11:59

Hinweis: da frac(x)=x-floor(x) ist, entsteht die Folge durch:

a=(i*i-1)/9;b=a-floor(a);aD[i]=round(b*9+1);

0

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