Warum ist die Hypotenuse die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks?
Also unsere Hausaufgabe lautet: " Überlege, warum die Hypotenuse die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks ist"
Ich habe schon überlegt ob das etwas mit dem satz des Pythagoras zutun hat
3 Antworten
Das folgt direkt aus der Definition: Als Hypotenuse bezeichnet man die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks.
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Es gibt bestimmt auch Leute, die die Hypotenuse als diejenige Seite definieren, welche in einem rechtwinkligen Dreieck gegenüber dem rechten Winkel liegt.
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Dann könnte man beispielsweise den Satz des Pythagoras benutzen, um zu zeigen, dass die Hypotenuse die längste Seite des Dreiecks ist ...
Wenn man die Kathetenlängen mit a und b bezeichnet und die Hypotenusenlänge mit c, so ist a² + b² = c².
Mit b² > 0 folgt a² < b²
Wurzelziehen liefert dann a < c.
[Dabei ist implizit eingegangen, dass die Seitenlängen positiv sind, also a > 0 und b > 0 und c > 0 ist.]
Analog erhält man durch Ausnutzen von a² > 0, dass b < c ist.
Wegen a < c und b < c ist die Hypotenuse also länger als die Katheten im rechtwinkligen Dreieck. Daher ist die Hypotenuse die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck.
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Statt den Satz des Pythagoras zu benutzen, könnte man beispielsweise auch ausnutzen, dass die größte Seite in einem Dreieck gegenüber dem größten Innenwinkel des Dreiecks liegt. Und da die Innenwinkelsumme 180° beträgt, ist 90° der größte Innenwinkel in einem rechtwinkligen Dreieck, da die anderen beiden Innenwinkel jeweils kleiner als 90° sind.
die Seite, die dem größten Winkel gegenüberliegt, ist immer die Längste. Beim rechtwinkligen Dreieck können die beiden anderen Winkel zusammen nur noch 90° betragen (Winkelsumme ergibt immer 180°)
Wenn die Hypotenuse, also die Seite, die gegenüber dem rechten Winkel ist, kürzer wäre als eine der anderen Seiten, dann würde das kein vollständiges Dreieck ergeben, weil die Länge nicht ausreichen würde, um an BEIDE Seiten (Katheten) anzustoßen.