Warum ist die Differenz zweier sich schneidender Kugeln/Kugelgleichungen die zugehörige Schnittebene?

2 Antworten

Ich nenne die beiden Terme für die Kugeln/Kreise mal K1 und K2.

Warum bildest Du überhaupt die Differenz? Da steckt doch wohl dahinter, dass Du vorher die beiden Terme gleichgesetzt hast: K1 = K2.

Und das ist eindeutig das Problem, gemeinsame Punkte von Kugeln bzw. Kreisen zu finden. Als Lösung findest Du einen (irgendwie gearteten) Zusammenhang zwischen den Koordinaten oder Parametern.

Im Fall von Kugeln ist die Menge der gemeinsamen Punkte (so es denn gemeinsame Punkte gibt) entweder die gesamte Kugel (wenn die Kugeln identisch sind), nur ein einziger Punkt (wenn sie sich (von außen oder von innen berühren), ein Schnittkreis (für den es im Dreidimensionalen keine Darstellungsform gibt; also gibt man entweder die Ebene an, in der der Kreis liegt, oder Mittelpunkt und Radius) oder die leere Menge.

Bei Kreisen ist es ähnlich. Schneiden sich die beiden Kreise, besteht die Schnittmenge also aus zwei Punkten, nicht einer Schnittgeraden.

In Bezug auf Deine Ausgangsfrage würde ich also nicht sagen: die Differenz ist die Schnittebene, sondern die Lösung der Gleichung hilft, die Schnittebene zu finden.

Danke, da hab ich wohl einfach zu kompliziert gedacht. Bei so viel LGS, die wir immer nur mit Additionsverfahren gelöst haben, hab ich wohl den Blick für's Wesentliche - nämlich das Gleichsetzen - komplett verloren.


Und ich sollte wohl mehr abstrahieren, statt mir das vorzustellen.


Vielen Dank!

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@HugaTV

Das geht mir aber auch manchmal so, die Sache mit dem Wald und den Bäumen :-)

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Du bildest ja die "Differenz der Gleichungen" absichtlich so, dass dann die quadratischen Glieder , also x^2, y^2 und z^2 , verschwinden. Die entstehende Differenzgleichung wird deshalb linear. Und eine lineare Gleichung in x,y,z stellt eben eine gewisse Ebene dar. Analog dazu: beim Schnitt zweier Kreise in der x-y-Ebene produzierst du durch die Subtraktion eine lineare Gleichung, welche durch eine Gerade dargestellt wird.

Dabei darf für das eigentliche Schnittproblem natürlich nicht ausser Acht gelassen werden, dass man es immer noch mit einem solchen zu tun hat. Die Schnittmenge der beiden Kugelflächen (also der Schnittkreis) wird also nicht etwa durch die "Differenzgleichung" beschrieben, sondern nun halt einfach anstatt als Schnittmenge zweier Kugelflächen als Schnittmenge einer Kugelfläche mit der nun bestimmten Hilfsebene dargestellt.

Zum Vergleich könntest du aus zwei vorliegenden Kugelgleichungen K1=0 und K2=0 andere Linearkombinationen bilden, also anstatt K1-K2=0 etwa die Gleichung  3K1-2K2=0 . Dabei fallen dann die quadratischen Glieder nicht einfach raus, und was verbleibt, ist einfach die Gleichung einer weiteren Kugelfläche, die mit den ersten beiden Kugelflächen den gemeinsamen Schnittkreis teilt. Durch Variation der Gewichtungen könntest du eine wunderbare Animation erzeugen, bei der man sehen könnte, wie sich eine Kugel durch einen fixierten Kreis zwängt, schließlich zu unermesslicher Größe anwächst (dann erscheint sie als Ebene) und dann auf der anderen Seite des Kreises wieder zusammenschrumpft ...

LG ,   Al-Chw.   

Wow, das ist aber auch interessant! Darüber hab ich auch noch garnicht nachgedacht. Kann man diese Animation theoretisch mit Geogebra umsetzen?

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@HugaTV

Für Kreise in der Ebene (welche durch 2 vorgegebene Punkte gehen), sollte dies möglich sein. Werde ich vielleicht auch ausprobieren. Für Kugelflächen im 3D-Raum eignet sich Geogebra natürlich nicht - aber ich kann mir eine derartige Animation mit seifenblasenartig schillernden Kugeln lebhaft vorstellen: ziemlich geil ...

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https://de.wikipedia.org/wiki/Minkowski-Raum

bzw. die Sterne und all die Masse des Universums eine „4D Materiewelt“ (so nenne ich mal den Teil des Universums, der aus Masse und Energie und nicht aus Raum und Zeit besteht) in dieser Raumzeit sind, und der Urknall der Mittelpunkt dieser „4D Materiewelt“ ist.

Könnte es dann nicht sein, dass es in der vierdimensionalen Raumzeit nicht nur einen Urknall gibt/gab, sondern mehrere, oder gar unendlich viele „Urknälle“, die jeweils eine eigene „4D Materiewelt“ umgibt, und diese „Urknälle“ und deren „4D Materienwelten“ zeitlich (in der Raumzeit) voneinander getrennt sind, vergleichbar mit den Galaxien und Planeten, deren Massen und Mittelpunkte räumlich voneinander getrennt sind?

Führen wir uns vor Augen, dass man Jahrtausendelang dachte, dass die Erdanziehung nur von „unten“ aus wirkt, wir heute aber wissen, dass die Gravitation hier auf der Erde zwar vor allem vom Erdmittelpunkt „unten“) ausgeht, aber auch vom Mond, der Sonne und allen anderen Massen („oben“) und dies auch Auswirkungen auf „unten“ hat (Ebbe und Flut zum Beispiel).

Könnte es nicht dementsprechend sein, dass die Annahme, das Kausalität nur von der Vergangenheit (Aus Richtung unseres Urknalls kommend) aus in die Zukunft wirkt und funktioniert, aber nicht umgekehrt, nicht richtig ist, sondern wir zwar die meiste Kausalität aus der Vergangenheit spüren, da unser Urknall eben sehr nahe ist und dort die Materie am dichtesten war, es aber auch ganz leichte Kausalitätsauswirkungen aus der Zukunft gibt, die von den anderen „Urknällen“ (und dessen „4D Materiewelten“) oder vielleicht sogar von Geschehnissen die in naher Zukunft liegen, aus gehen, dass diese Auswirkungen diese Geschehnisse aber so gering und subtil sind, dass wir sie nicht wahrnehmen, genauso wie wir Ebbe und Flut nicht wahrnehmen, wenn wir auf dem Ozean schippern, dass sie aber sich subtil zum Beispiel als konzentrische Kreise in der Hintergrundstrahlung zeigen?

Kommt hier überhaupt noch jemand mit, bei dem was ich sagen, bzw. fragen will?

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