Warum ist die Differenz zweier sich schneidender Kugeln/Kugelgleichungen die zugehörige Schnittebene?

2 Antworten

Ich nenne die beiden Terme für die Kugeln/Kreise mal K1 und K2.

Warum bildest Du überhaupt die Differenz? Da steckt doch wohl dahinter, dass Du vorher die beiden Terme gleichgesetzt hast: K1 = K2.

Und das ist eindeutig das Problem, gemeinsame Punkte von Kugeln bzw. Kreisen zu finden. Als Lösung findest Du einen (irgendwie gearteten) Zusammenhang zwischen den Koordinaten oder Parametern.

Im Fall von Kugeln ist die Menge der gemeinsamen Punkte (so es denn gemeinsame Punkte gibt) entweder die gesamte Kugel (wenn die Kugeln identisch sind), nur ein einziger Punkt (wenn sie sich (von außen oder von innen berühren), ein Schnittkreis (für den es im Dreidimensionalen keine Darstellungsform gibt; also gibt man entweder die Ebene an, in der der Kreis liegt, oder Mittelpunkt und Radius) oder die leere Menge.

Bei Kreisen ist es ähnlich. Schneiden sich die beiden Kreise, besteht die Schnittmenge also aus zwei Punkten, nicht einer Schnittgeraden.

In Bezug auf Deine Ausgangsfrage würde ich also nicht sagen: die Differenz ist die Schnittebene, sondern die Lösung der Gleichung hilft, die Schnittebene zu finden.

Danke, da hab ich wohl einfach zu kompliziert gedacht. Bei so viel LGS, die wir immer nur mit Additionsverfahren gelöst haben, hab ich wohl den Blick für's Wesentliche - nämlich das Gleichsetzen - komplett verloren.


Und ich sollte wohl mehr abstrahieren, statt mir das vorzustellen.


Vielen Dank!

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@HugaTV

Das geht mir aber auch manchmal so, die Sache mit dem Wald und den Bäumen :-)

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Du bildest ja die "Differenz der Gleichungen" absichtlich so, dass dann die quadratischen Glieder , also x^2, y^2 und z^2 , verschwinden. Die entstehende Differenzgleichung wird deshalb linear. Und eine lineare Gleichung in x,y,z stellt eben eine gewisse Ebene dar. Analog dazu: beim Schnitt zweier Kreise in der x-y-Ebene produzierst du durch die Subtraktion eine lineare Gleichung, welche durch eine Gerade dargestellt wird.

Dabei darf für das eigentliche Schnittproblem natürlich nicht ausser Acht gelassen werden, dass man es immer noch mit einem solchen zu tun hat. Die Schnittmenge der beiden Kugelflächen (also der Schnittkreis) wird also nicht etwa durch die "Differenzgleichung" beschrieben, sondern nun halt einfach anstatt als Schnittmenge zweier Kugelflächen als Schnittmenge einer Kugelfläche mit der nun bestimmten Hilfsebene dargestellt.

Zum Vergleich könntest du aus zwei vorliegenden Kugelgleichungen K1=0 und K2=0 andere Linearkombinationen bilden, also anstatt K1-K2=0 etwa die Gleichung  3K1-2K2=0 . Dabei fallen dann die quadratischen Glieder nicht einfach raus, und was verbleibt, ist einfach die Gleichung einer weiteren Kugelfläche, die mit den ersten beiden Kugelflächen den gemeinsamen Schnittkreis teilt. Durch Variation der Gewichtungen könntest du eine wunderbare Animation erzeugen, bei der man sehen könnte, wie sich eine Kugel durch einen fixierten Kreis zwängt, schließlich zu unermesslicher Größe anwächst (dann erscheint sie als Ebene) und dann auf der anderen Seite des Kreises wieder zusammenschrumpft ...

LG ,   Al-Chw.   

Wow, das ist aber auch interessant! Darüber hab ich auch noch garnicht nachgedacht. Kann man diese Animation theoretisch mit Geogebra umsetzen?

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@HugaTV

Für Kreise in der Ebene (welche durch 2 vorgegebene Punkte gehen), sollte dies möglich sein. Werde ich vielleicht auch ausprobieren. Für Kugelflächen im 3D-Raum eignet sich Geogebra natürlich nicht - aber ich kann mir eine derartige Animation mit seifenblasenartig schillernden Kugeln lebhaft vorstellen: ziemlich geil ...

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