Warum ist d/dx e^x = e^x?

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6 Antworten

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Kommentar von DepravedGirl
06.01.2016, 16:38

Vielen Dank für den Stern :-)) !

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Eine Beweismöglichkeit besteht in der Aufstellung des Differenzenquotienten und der anschließenden Grenzwertbetrachtung für epsilon -> 0.

Eine andere Möglichkeit besteht in der Betrachtung der Taylorreihe, mit der man Zahlenwerte für die e-Funktion ausrechnen kann. Es gilt:

e^x = 1 + x +x^2/2! + x^3/3! + x^4/4!

Nun bilde ich die Ableitung der Taylorreihe. Aus der 1 wird eine 0. Aus x wird eine 1. x^2 geht über in 2x. Im Nenner steht aber 2! bzw 1*2, ich kann die 2 kürzen.

Vorgerechnet

(e^x)' =  1 +2x/(1*2) + 3x^2/(1*2*3) + 4x^3/(1*2*3*4) + ...

Im zweiten Term lassen sich die 2en kürzen, im dritten Term lassen sich sich die 3en kürzen usw. Es resultiert, tadaaa

(e^x)' =  1 +x + x^2/(1*2*) + x^3/(1*2*3) + ...

die e-Funktion

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Ja klar. Das liegt an der Definition der e Funktion selbst. Die genannte Eigenschaft charakterisiert die e Funktion und macht deren Bedeutung aus.

Einen Beweis für die Eigenschaft findet sich hier
http://www.mathe-online.at/mathint/diff1/i_beweis21.html

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weil die Ableitung von e^x wieder e^x ist.

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Exponentialfunktionen werden über ihren Logarithmus abgeleitet und es ergibt sich e^x * lne = e^x *1

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