Warum ist 2^-1= 1/2?

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7 Antworten

MERKE : In der Mathematik,geht es nur um die exakte Anwendung von Formeln und Rechengesetze.

siehe Mathe-Formelbuch "Potenzgesetze"

Definition : a^0=1 mit a ungleich Null

a^(-k)= 1/a^(k) mit a ungleich Null 

0^k= 0 mit k ungleich Null

also ist 2^(-1)=1/(2^1)= 0,5

Tipp : Besorge dir privat ein Mathe-Formelbuch aus einen Buchladen,wie den "Kuchling".In diesen Buch stehen alle Formeln für deine Aufgaben drin.Du musst diese nur noch exakt anwenden können.

Für 30 Euro bekommt man ca. 600 Seiten mit Formeln,Zeichnungen und kleinen Beispielaufgaben.

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Merke Dir einfach: Negative Exponenten wandelt man in positive Exponenten um, indem man die gesamte Potenz in den Nenner "verbannt".

Es gibt das Buch: "Potenzen und Wurzeln" so gut erklärt es kein Lehrer in der Schule!

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Hallo,

rechne die Potenzreihe einfach zurück:

2^3=8

2^2=4, also 2^3/2=8/2

2^1=2, also 2^2/2=4/2

2^0=1, also 2^1/2=2/2

2^(-1)=1/2, also 1 geteilt durch 2

2^(-2)=1/4, also 1/2 geteilt durch 2 usw.

Zur nächsttieferen Potenz kommst Du, indem Du die Potenz davor durch die Basis teilst.

Herzliche Grüße,

Willy

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Wenn du hier im Editor * benutzt, mach am besten immer ein Leerzeichen davor und dahinter, sonst wirst du manchmal erleben, dass dein * weg ist und ein paar Zahlen schräg stehen!

Für das Minus im Expoenten, merkst du dir am besten:

Sehe ich ein Minus im Exponenten, schreibe ich 1 durch und schicke den Rest ohne Minus in den Keller (Nenner).

a^(-n) = 1 / a^n

Dabei aber nicht die Regeln der Bruchrechnung vergessen, wenn du multiplizierst:

c * a^(-n) = c * 1 / a^n = c / a^n

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Die Potenz einer Zahl a ist zunächst die wiederholte Multiplikation dieser Zahl mit sich selbst. a³ bedeutet also, dass a dreimal mit sich selbst mulitpliziert wird:  a³ = a⋅a⋅a.

Will man eine Zahl 5-mal mit sich selbst zu multiplizieren, kann man sie z.
B. erst 3-mal mit sich selbst zu multiplizieren und dann noch 2-mal:
a⋅a⋅a ⋅ a⋅a = a⋅a⋅a⋅a⋅a.

Als Potenz geschrieben sieht das dann so aus:
a³ ⋅ a² = = a⁵

Es gilt also die schöne Rechenregel, dass man die Potenzen einer Zahl a
miteinander multiplizieren kann, indem man die Exponenten (Hochzahlen, in unserem Beispiel 2 und 3) addiert und die Zahl a dann hoch dieser Summe nimmt.

Als nächstes muss man festlegen, was a¹ und a⁰ bedeuten sollen. Das macht man natürlich so, dass die obige Rechenregel auch für die Exponenten 1 und 0 gilt. Also so, dass z. B.   a¹ ⋅ a² = a³  wird. Das bedeutet aber  a¹⋅a⋅a = a⋅a⋅a. Deshalb legt man fest, dass a¹ = a ist.

Und weil z. B. 2+0 = 2 ist, gilt die obige Rechenregel nur, wenn auch
a²⋅a⁰ = a² ist. Deshalb setzt man a⁰ = 1 (wobei a nicht 0 sein soll). Denn die 1 ist genau die Zahl, mit der man eine andere multiplizieren kann ohne sie zu ändern:  a²⋅1 = a².

Damit steht fest, was a⁰, a¹, a², a³, ... bedeuten. Wie kann man nun das Potenzieren auch auf negative Exponenten ausweiten? Was soll es bedeuten, eine Zahl a hoch einer negativen Zahl zu nehmen, z. B.
hoch (-1) ? Auch hier legt man das wieder so fest, dass die obige
Rechenregel gilt. Weil aber 1 + (-1) = 0 ist, soll daher auch  a¹ ⋅ = a⁰  werden.

Wegen a¹ = a  und  a⁰ = 1 heißt das aber a ⋅ = 1.  Also muss man  festlegen, dass  = 1/a ist (wobei a nicht 0 ist), weil  a ⋅ (1/a) = 1 ist.

Genauso macht man es mit den übrigen negativen ganzen Zahlen. So ist z. B.  2 + (-2) = 0, also soll  a² ⋅= a⁰  = 1 werden, darum setzt man
  = 1/a².

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2^3 = 8

2^2 = 8/2 = 4

2^1 = 4/2 = 2

2^0 = 2/2 = 1

zu einer Potenz die um 1 niedriger ist wird (hier) also immer durch 2 geteilt, deswegen ist

2^(-1) = 1/2

2^(-2) = (1/2)/2 = 1/4

oder auch a^(-n) = 1/a^n

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Jede Zahl hoch -1 ergibt 1durch die Zahl.
Oder allgemein:
x^(-n) = 1/x^n
Deshalb bei 2^(-1) = 1/2^1 => 1/2

Gruß

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Kommentar von nochzudumm
14.07.2016, 17:08

Ok aber warum ist dann a*e^-x = a/e .. Ich meine das müsste doch dann a*e/x sein oder ? Wie kommt er darauf?

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Kommentar von Dogukann
14.07.2016, 17:11

a*e^(-x) = a * 1/e^x = a/e^x und bei x = 1 => a/e

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Kommentar von Dogukann
14.07.2016, 17:18

e^1 = e ;-) Gern! :-)

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Kommentar von Dogukann
14.07.2016, 17:51

Kein Problem! ;-)

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