Warum ist 1/Elektrische Feldkonstante * magnetische Feldkonstante = c^2?

2 Antworten

Hallo Godisdead,

das hat gewissermaßen mathematische Gründe und ist natürlich auch dem Maßsystem geschuldet, denn universellen Konstanten wie ε₀ und μ₀ sind natürlich Artefakte des verwendeten Maßsystems, ebenso wie c selbst. Würde man Strecken in Sekunden (im Alltag: Nanosekunden, etwa 30cm) messen, so wäre einfach c=1.

Die elektromagnetische Wellengleichung folgt unmittelbar aus den MAXWELL-Gleichungen, die die Beziehung räumlicher und zeitlicher Änderungen elektrischer und magnetischer Felder beschreiben. Hierfür muss ich etwas ausholen:

Vorbereitung

Für die räumliche Änderung steht der Nabla-Operator

(1.1) ∇ = (∂/∂x; ∂/∂y; ∂/∂z) =: (∂₁ ∂₂; ∂₃),

wobei das '∂' für die partielle Ableitung in eine Richtung steht. Als Operator differenziert ∇ alles, was direkt dahinter steht, zum Beispiel ein Potential:

(1.2) ∇Φ = (∂Φ/∂x; ∂Φ/∂y; ∂Φ/∂z) = (∂₁Φ; ∂₂Φ; ∂₃Φ) = grad(Φ) ('Gradient Φ').

–∇Φ ist eine Feldstärke, das stärkste Gefälle von Φ. Auf Vektorfelder wie die elektrische Feldstärke

E› = (E₁; E₂; E₃)

kann ∇ auf zwei Arten wirken, einmal als Skalarprodukt

(1.3) ‹∇,E› = ∂₃E₁ + ∂₃E₂ + ∂₃E₃ = div(E›) ('Divergenz E›'),

das die lokale Quellenstärke (bzw. Quellendichte, wie man besser sagen sollte) von E› beschreibt, und einmal als Kreuzprodukt

(1.4) ∇×E› = (∂₂E₃–∂₃E₂; ∂₃E₁–∂₁E₃; ∂₂E₃–∂₃E₂) = rot(E›) ('Rotation E›'),

das die lokale Wirbelstärke (bzw. Wirbeldichte) von E› beschreibt, sozusagen einen Vektor, um den herum die Feldlinien von E› verlaufen.

Zudem ist

(1.5) ∇×(∇×E›) = ∇‹∇,E› – ∇²E› = grad(div(E›)) – (∂₁²+∂₂²+∂₃²)E›,

wobei ∇² 'Laplace' heißt und oft 'Δ' geschrieben wird, was man jedoch mit Differenzen verwechseln kann.

Die MAXWELL-Gleichungen und die Wellengleichung

Die MAXWELL-Gleichungen selbst lauten:

(2.1) ‹∇,E› = ρ/ε₀

Die Quellen elektrischer Felder sind elektrische Ladungen; mit ρ ist hier die Ladungsdichte gemeint.

(2.2) ‹∇,B› ≡ 0

Magnetfelder sind stets quellenfrei.

(2.3) ∇×E› = –(∂/∂t)B› =: –∂ₜB›

Ein sich zeitlich änderndes Magnetfeld erzeugt ein elektrisches Wirbelfeld um sich herum, mit umgekehrtem Drehsinn.

(2.4) ∇×B› = μ₀·j› + μ₀:ε₀·(∂/∂t)E› =: ∂ₜE›

Ein elektrischer Strom (Stromdichte j›) oder die zeitliche Änderung eines elektrischen Feldes erzeugt ein magnetisches Wirbelfeld um sich herum.

Im materiefreien Raum ist ρ=0 und j›=0. Die räumlichen Änderungen eines Feldes hängen daher nur mehr von den zeitlichen Änderungem des jeweils anderen ab.

Die Wellengleichung bekommen wir, indem wir die Rotation von (2.3) bilden:

(3.1) ∇×∇×E› = ∇×(–∂ₜB›) = –∂ₜ(∇×B›)

Ableitungen nach verschiedenen Variablen kommen sich nicht in die Quere und vertauschen, das rechtfertigt den letzten Schritt. Die linke Seite schreiben wir nach (1.5) um und berücksichtigen, dass E› wegen ρ=0 quellenfrei ist; das Minuszeichen auf beiden Seiten kürzt sich dabei raus:

(3.2) ∇²E› = ∂ₜ(∇×B›)

Schließlich bearbeiten wir die rechte Seite nach (2.4) unter Berücksichtigung von j›=0:

(3.3) ∇²E› = ∂ₜ(μ₀ε₀·∂ₜE›) = μ₀ε₀·∂ₜ²E›

Dasselbe kann man auch für B› machen, indem man die Rotation von (2.4) bildet. Hier braucht man nicht einmal ρ=0 zu berücksichtigen, da B› immer quellenfrei ist:

(4.1) ∇×∇×B› ≡ –∇²B› = μ₀ε₀·∇×∂ₜE› = μ₀ε₀·∂ₜ(∇×E›) = μ₀ε₀·∂ₜ(–∂ₜB›)

Dies kann man zusammenfassen und das Minuszeichen kürzt sich wieder raus:

(4.2) ∇²B› = μ₀ε₀·∂ₜ²B›

Lösungsansatz ebene Welle

Eine von etlichen Lösungen von (3.3) ist eine polarisierte ebene Welle in x-Richtung:

(5.1) E›(x,t) = (0; E₀·cos(k·x – ω·t); 0)

Dabei heißt

k = 2π/λ

mit der Wellenlänge λ auch Kreiswellenzahl („lineare Kreiswellendichte“ würde besser treffen, was gemeint ist). Da E_y=:E nun die einzige Komponente ist, kann man das auch skalar formulieren:

(5.2) E(x,t) = E₀·cos(k·x – ω·t)

Hier kann man anstelle von (3.3) auch

(6.1) d²E/dx² = μ₀ε₀·d²E/dt²

schreiben und mit (5.2)

(6.2) k²·E₀·cos(k·x – ω·t) = μ₀ε₀·ω²·E₀·cos(k·x – ω·t),

wobei sich eine Menge Zeug herauskürzt und

(6.3) k² = μ₀ε₀·ω²

übrigbleibt. Nun wissen wir aber auch, dass mit einer festen Ausbreitungsgeschwindigkeit c der Wellen

(7.1) k = ω/c

ist, und damit muss auch

(7.2) k² = ω²/c²

sein, was mit (6.3) automatisch zu

(8) μ₀ε₀ = c²

führt.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung

Das ergibt sich aus den Maxwell Gleichungen. Du kannst den Ansatz

E(x,t) = A sin (wt - kx)

in die Maxwell Gleichungen ein.

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