Warum gilt ln(a*b)=ln(a)+ln(b) und ln(a/b)=ln(a)-ln(b)?

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Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion beim ln ist das die Funktion e^x

Damit gilt: ln(e^x) = x

Betrachten wir also die Funktion : e^(a+b)

diese kann nach den Rechenregeln für Potenzen geschrieben werden als e^a * e^b

e^(a+b) = e^a * e^b und damit:

ln(e^(a+b)) = ln(e^a * e^b) = a+b

Damit das stimmt muss also gelten ln(e^a * e^b) = ln(e^a) + ln(e^b) = a+b

Diese Regeln kann man sich auch allgemeiner aus den Regeln für die Umkehrfunktion herleiten, allerdings kann man so auch zumindest erkennen woher diese Regeln kommen.

Für ln(a/b) geht es genau so.

Noch der Vollständigkeit halber die Herleitung dieser Umstände für die Exponentialfunktion ist relativ einfach:

e^x = e*e*e*e*e.....*e also x mal e mit sich selbst multipliziert.

e^a * e^b = (e*e*e*e..*e)*(e*e*e*e*....e) der erste Klammeraudruck enthält a mal e mit sich selbst multipliziert beim zweiten Klammerausdruck stehen b es drinnen.

Aus dem Assoziativgesetzt ergibt sich, dass e insgesamt a+b mal mit sich selbst multipliziert wird und daher gilt:

e^a*e^b = e^(a+b)

Logarithmen sind "Hochzahlen", also Potenzen → es gelten die Rechenregeln für Potenzen: a^b · a^c = a^(b+c) ...usw.

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