Warum gilt dieser mathematische Satz zu Ableitung und Extrema?

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2 Antworten

Falls ƒ in einer Umgebung vom Punkt P n-Mal stetig differenzierbar ist, und ƒ⁽ᵏ⁾(P)=0 für alle 0<k<n und ƒ⁽ⁿ⁾(P) ≠ 0, so gilt für eine genügend kleine offene (und deshalb konvexe) Umgebung, U, von P, dass für alle x∈U ein P* „zwischen“ P und x (also insbesondere gilt P*∈U) existiert, so dass

        n
ƒ(x) = ∑ ƒ⁽ᵏ⁾(P)/k! · (x–P)ᵏ + ƒ⁽ⁿ⁾(P*)/n!·(x–P)ⁿ
k=0

n
= ƒ(P) + ∑ 0/k! · (x–P)ᵏ + ƒ⁽ⁿ⁾(P*)/n!·(x–P)ⁿ
k=0

= ƒ(P) + ƒ⁽ⁿ⁾(P*)/n!·(x–P)ⁿ …(1)

Wegen der lokalen Stetigkeit ƒ⁽ⁿ⁾ um P, kann man nun U kleiner reduzieren, auf eine offene (und deshalb konvexe) Umgebung V⊆U von P, so dass gilt 

ƒ⁽ⁿ⁾(P*) ∈ (0,ƒ⁽ⁿ⁾(P)+1), falls ƒ⁽ⁿ⁾(P)>0; oder
ƒ⁽ⁿ⁾(P*) ∈ (ƒ⁽ⁿ⁾(P)–1,0), falls ƒ⁽ⁿ⁾(P)<0
…(2)

für alle P* ∈ V. Angenommen, nun n ≡ 0 mod 2. Dann gilt wegen (1) und (2), dass für alle x∈V \ {P} ein P*∈V „zwischen“ P und x (also insbesondere gilt P*∈V, sodass (2) sich anwenden lässt) existiert, so dass ƒ(x) = ƒ(P) – ƒ⁽ⁿ⁾(P*)/n!·(x–P)ⁿ. Da n gerade ist und x≠P, gilt (x–P)ⁿ > 0. Da P* ∈ V, gilt wegen (2), dass ƒ⁽ⁿ⁾(P*) > 0 bzw. < 0, je nach Vorzeichen von ƒ⁽ⁿ⁾(P). Folglich gilt:

ƒ(x) > ƒ(P) + 0, falls ƒ⁽ⁿ⁾(P)>0
ƒ(x) < ƒ(P) + 0, falls ƒ⁽ⁿ⁾(P)<0.

Da dies für alle x∈V \ {P} gilt und V eine Umgebung von P ist, ist per Definition ƒ(P) somit ein lokales Minimum, falls ƒ⁽ⁿ⁾(P)>0, bzw. ein lokales Maximum, falls ƒ⁽ⁿ⁾(P)<0, unter der Bedingung, dass n gerade ist.

Danke, nur ich habe gemerkt, dass diese Frage völlig meine Fähigkeiten übersteigt 😊, leider.

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@lateinchiller

Wie denn das? Mathematik—ne, Wissen/Lernen im Allgemeinen—besteht darin, sich stets zu erweitern und sich an den Sachen zu gewöhnen. Das, was ich oben schrieb, ist, glaub mir von ziemlich niedrigem Niveau, das habe ich halbwegs schon in der 12. Klasse bewiesen, nur nicht so ordentlich wie heute. Geb nicht auf! Es lohnt sich!

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@lateinchiller: Das ist übrigens der schon erwähnte Satz von Taylor mit Restglied nach Lagrange, und nein, das ist keine Schulmathematik, egal was kreisfoermig sagt. Lass dich nicht verunsichern.

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es macht keinen Unterschied. Mit der Haltung „uns wurde das noch nicht beigebracht“ wird man nur zum Produkt des Systems, zum Automaten statt eines selbstständig denkenden Wesens. Der kleine Gauß, Turing, et al. wurden zu den Großen, indem sie u. a. diese Haltung ablehnten und den Wissenschafkter in sich rausließen.

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Ich beschäftige mich da zu einem späteren Zeitpunkt mal mit. Aber kreisfoermig, in der 11 (eigentlich 10 durch G8) konntest du so etwas doch auch noch nicht, oder ?

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@lateinchiller

Neugier ermöglichte es mir, mir Sachen von Universitätsbüchern beizubringen. Darauf aufbauend konnte ich schon (also gar nicht so ordentlich wie oben) Fragen beantworten, die sich stellten wie, wie kann man die Länge statt Fläche einer Kurve berechnen (11.—ich wusste damals nicht, dass es ja eine Formel gab), welcher Test mittels Differenzieren statt des 2. Ableitungstests können man benutzen (12.), usw. Das machte ja andere Schulkinder mit ihren Lieblingsfächern. So brachte sich mein Kumpel ordentlich Programmieren bei, ein anderer 1./2. Semester Uniphysik, usw. Es ist nicht so besonders.

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Das kann man beweisen mit dem Satz von Taylor, wobei man als Restglied die Darstellung nach Lagrange nimmt.

Das übersteigt meine Kompetenzen 😢. Ich denke ich muss es erstmal so hinnehmen 😐

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@lateinchiller

Nun ja, das kommt darauf an. Den Satz von Taylor macht man am Anfang im Mathestudium bei A n a l y s i s I. Die Herleitung geht mit vollständiger Induktion, ist aber nicht so ganz trivial. MIt dem Satz von Taylor können Funktionen mit HIlfe von ganzrationalen Polynomen angenähert werden. Dabei bleibt dann ein Rest, den man mit verschiedenen Formeln abschätzen kann. In der Restgliedformel von Lagrange kommt nun ein Term der Form (x-a)^(n+1)  vor, wobei a der Entwicklungspunkt ist. Sind alle Ableitungen an der Stelle a vorher gleich 0, dann bleibt nur das Restglied. Ist nun n+1 eine gerade Zahl, dann ist (x-a)^(n+1) immer positiv, egal, ob x links oder rechts vom Entwicklungspunkt a ist (weil ja hoch eine gerade Zahl immer eine positive Zahl gibt). Nimmt man nun eine hinreichend kleine Umgebung um a, dann sind alle Werte also größer als f(a) oder halt alle kleiner als f(a) (je nach sonstigen Vorzeichen), daher hat man einen Extrempunkt.

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Achso. Also in der Schule (11 - 13 Klasse) behandelt man diesen Satz gar nicht ? Dann übersteigt es mein Wissen weit 😊

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@lateinchiller

Wie du in deiner Frage schon richtig beschrieben hast: Die Anwendung auf lokale Extrema und Wendepunkte ist ja recht einfach anzuwenden (und auch wesentlich besser als dieses Rumgefutschel mit dem Vorzeichenwechsel und so weiter), allerdings glaube ich nicht, dass es eine schulübliche, also einfache Herleitung davon gibt.

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Alles klar. Dann akzeptiere ich das so und merke mir einfach nur, dass das mit dem Satz von Taylor geht. Vielen Dank Dir 👍👍

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