Warum gibt es bei sin(α)=0,21 zwei alpha werte α?

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5 Antworten

Es gibt sogar nicht nur 2 sondern unendlich viele! Die 2 die im Bereich von 0° - 360° liegen heißen Hauptwerte, und diese werden üblicherweise abgegeben.
Warum gibt es 2? Stell dir den Einheitskreis vor bzw zeichne ihn. Der Sinus ist ja als y-Koordinate eines Punkts am Einheitskreis definiert. Das heißt du zeichnest an der y-Achse einmal den Wert 0,2 ein.  Nun siehst du, dass in der Tat 2 Punkte am Einheitskreis existieren, die als y-Koordinate diesen Wert haben. (siehe Bild) Das ist für jeden Sinus, Cosinus und auch Tangens so, dass es 2 Hauptwerte gibt. Dabei ist :
sin(α) = sin(180° - α)
cos(α) = cos(-α)
tan(α) = tan(α + 180°)
Hoffe, dass ich helfen konnte.
Lg

mal angenommen, die herausgefundenen "12 Grad" stimmen (hab' ich nicht nachgerechnet), dann gehört noch ein weiterer Winkel dazu, nämlich der zu 180-alpha (= 168 Grad in dem Beispiel). Und weiterhin kann man zu beiden Winkeln beliebige Vielfache von 360 Grad hinzuaddieren und würde für jeden dieser Winkel wieder sin(...) = 0,21 herausbekommen. Das liegt daran, dass die Sinusfunktion zu den periodischen Funktionen gehört.

Vielen vielen Dank !!!!

Gibt es ein bestimmten Grund,warum man 180-alpha macht ?

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@Rihanna10701070

das liegt an der Definition des "Sinus". Wird eine solche Aufgabe z.B. mit dem Cosinus gestellt, dann gilt "180 - alpha" nicht.

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@Rihanna10701070

Das liegt daran, dass man beim Einheitskreis den Sinus von α als y-Wert ablesen kann. Wenn du jenseits von 90° denselben y-Wert haben willst, ist der Winkel genau (180° - α).

Der Kosinus liegt auf der x-Achse. Um denselben cos zu bekommen, musst du sogar bis (360° - α) gehen.

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Es gibt nicht 2, sondern unendlich viele Lösungen dieser periodischen Funktion:
sin(x)=21/100 | Umkehrfunktion
x[n]=2*Pi*n+asin(21/100) , n=ganzzahlig
x[n]=2*Pi*n+Pi-asin(21/100) , n=ganzzahlig

n  | x in rad
-2 | -12.35479565460107734004155068...
-1 | -6.071610347421490863116263902...
0 | 0.2115749597580956138090228705...
1 | 6.494760266937682090734309643...
2 | 12.77794557411726856765959642...
...
-2 | -9.636352920527475329196953030
-1 | -3.353167613347888852271666257
0 | 2.930017693831697624653620516
1 | 9.213203001011284101578907289
2 | 15.49638830819087057850419406
...

Wer noch mit der veralterten Einheit Grad [°] rechnet, muss x mit dem Faktor
180/Pi=57,2957795130823208767981548141...
multiplizieren!

Periodisch bedeutet: man dreht sich im Kreis -> der Winkel wird dabei immer weiter hochgezählt. n bedeutet dabei, wie oft man sich im Kreis gedreht hat.

Ohne Randbedingungen kann man bei der Angabe "Ergebnis war =0.21" nicht sagen, wie oft zuvor gedreht wurde

Man kann sich das auch grafisch veranschaulichen. Der Plotter unter

http://www.gerdlamprecht.de/Liniendiagramm_Scientific_plotter.htm

kann mehrere Kurven zeichnen. Neben sin(x) lautet die andere einfach 0.21

zusammen: f1(x): aB[0]<1?0.21:sin(x)

mit Abbruch bei aB[0]>1

Der Schnittpunkt beider Kurven ist die gesuchte Lösung.

Bei Punkte=auto zeigt der Button "Tangente" auch das Werte-Paar an

siehe Bild

Alles natürlich in den SI-Einheiten, da sin und asin unendliche Summen sind.

{in Grad lautet die Formel: aB[0]<1?0.21:sin(x*PI/180)  }

Deine 12° sind ja extrem gerundet.

0.21157495975809561380902287...*180/Pi

=  12.122352244789111141769993... °

Bei Angabe von 2 Nachkommastellen, sollte man mindestens auch 2 Stellen antworten: 12.12 °

Plotter zeigt sin(x) grafische Lösung - (Mathematik, Trigonometrie, Sinus)

oder nur 1 Kurve f(x)=sin(x)-0.21

Die Verschiebung nach unten bedeutet Lösung beim Schneiden der x-Achse.

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Hier das Bild

Einheitskreis  - (Mathematik, Trigonometrie, Sinus)

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