Warum funktioniert der Koeffizientenvergleich?

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2 Antworten

Hallo,

möglicherweise bist Du über das Thema Partialbruchzerlegung auf den Koeffizientenvergleich gestoßen.

Die wird gern angewandt, wenn man eine Funktion integrieren will, die im Nenner ein Produkt stehen hat.

Einfaches Beispiel:

Die Stammfunktion zu f(x)=2/x lautet 2*ln |x|+C.

Das ist einfach.

Die Stammfunktion zu f(x)=2/(x+1) lautet 2*ln |x+1|+C

Das ist auch einfach.

Was ist aber, wenn Du eine Stammfunktion zu f(x)=2/[x*(x+1)] suchst?

Den Nenner einfach ausmultiplizieren zu x²+x und durch u ersetzen funktioniert nicht, denn als Ausgleich müßtest Du durch die Ableitung von x²+x=2x+1 teilen und hättest immer noch ein x übrig.

Wie wäre es aber, wenn Du den Bruch 2/[x*(x+1)] in zwei Brüche aufteilen würdest, nämlich in A/x+B/(x+1)?

Dann könntest Du beide Brüche einzeln integrieren zu A*ln |x|+B*ln |x+1|+C

Du mußt nur wissen, was Du für A und was für B einsetzen mußt.

Dazu stellst Du folgende Gleichung auf:

2/[x*(x+1)]=A/x+B/(x+1)

Wenn Du die rechte Seite auf einen Nenner bringen möchtest, nämlich auf den Nenner x*(x+1), also den gleichen Nenner wie auf der linken Seite, mußt Du A mit (x+1) multiplizieren und B mit x.

So erhältst Du:

2/[x*(x+1)]=A*(x+1))/[x*(x+1)]+Bx/[x*(x+1)]

Da die Brüche auf der rechten Seite nun gleichnamig sind, kannst Du sie zusammenfassen:

2/[x*(x+1)]=[A*(x+1)+Bx]/[x*(x+1)]

Nun kannst Du die ganze Gleichung mit x*(x+1) multiplizieren, so daß sich die Nenner herauskürzen und die Gleichung 2=A*(x+1)+Bx übrigbleibt.

Hier setzt vermutlich Deine Frage an:

Ich habe A, ich habe B und sogar noch ein x - wie soll ich die denn alle mit einer einzigen Gleichung herausbekommen? Schließlich weiß ich, daß ich für jede Unbekannte eine Gleichung benötige. Also: 3 Unbekannte, 3 Gleichungen - das funktioniert.

Aber: 3 Unbekannte, eine Gleichung? Das klappt doch nie.

Jetzt kommt der Trick:

Zunächst mal braucht das x gar nicht bestimmt zu werden. Das gehört zur Funktion und bleibt einfach so erhalten, wie es ist. Damit fällt eine Unbekannte schon mal weg.

Bleiben nur noch zwei.

Da fehlt aber immer noch eine Gleichung, meinst Du?

Falsch. Du hast es tatsächlich mit zwei Gleichungen zu tun, die sich nur als eine getarnt haben.

Du kannst nämlich links statt 2 auch 2+0*x schreiben.

So kommst Du auf 2+0*x=A*(x+1)+Bx

Immer noch eine einzige Gleichung?

Wart's ab:

Wir multiplizieren die rechte Seite aus:

2+0*x=Ax+A+Bx

Nun klammern wir das x aus:

2+0*x=A+(A+B)*x

Wenn Du Dir diese Gleichung genau ansiehst, merkst Du, daß beide Seiten gleich aufgebaut sind.

Du hast einen Summanden ohne x, nämlich links die 2 und rechts das A

und einen Summanden mit x, nämlich links 0*x und rechts (A+B)*x

Die 2 muß also dem A entsprechen, während A+B der 0 entspricht.

Schon hast Du zwei Gleichungen für zwei Unbekannte und die Welt ist in Ordnung:

A=2
A+B=0

Setzt Du die 2 für A in die zweite Gleichung ein, kommt für B -2 heraus, denn 2-2=0

Du kannst also f(x)=2/[x*(x+1)] durch f(x)=2/x-2/(x+1) ersetzen.

Bringen wir beides wieder auf einen Bruchstrich:

[2*(x+1)-2x]/[x*(x+1)], bekommen wir (2x+2-2x)/[x*(x+1)]=2/[x*(x+1)] und sind wieder am Anfang.

Wir können nun also die Stammfunktion bestimmen.

Sie lautet F(x)=2*ln |x|-2*ln |x+1|+C

Du kannst die 2 auch noch ausklammern:

F(x)=2*(ln |x|-ln |x+1|)+C

Du siehst: Beim Koeffizientenvergleich hast Du mehr Gleichungen als es auf den ersten Blick scheint.

Herzliche Grüße,

Willy

SonRatgeb 02.07.2017, 14:02

Danke Willy, wie konntest du in dieser kurzen Zeit so viel schreiben? :o

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Willy1729 02.07.2017, 14:16
@SonRatgeb

Übung.

Ich hatte, als ich die Antwort formulierte, Deinen Kommentar zur Antwort von gilgamesch noch nicht lesen können. So wußte ich nicht, wie es um Deine Vorkenntnisse bestellt ist.

Nun weiß ich, daß ich mich auch hätte kürzer fassen können.

Andererseits lesen vielleicht auch Leute die Frage, die dieses Verfahren nicht kennen. Dann finden sie hier eine - hoffentlich - verständliche Erklärung.

Herzliche Grüße,

Willy

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gilgamesch4711 02.07.2017, 14:54
@Willy1729

  1) Dass man gebrochen rationale Funktionen ( GRF ) mit PDTZ aufleitet, wisst ihr ( hoffentlich )

   2) Dass man sie genau so ablöeitet, ist meine Eigenentwicklung .

   3) TZ ist auch wichtig für die Lösung von Gleichungen der Form  GRF ( x ) = 0 , weil sich ja Pole weg kürzen können. Beliebte Frage; was ist der HN einer GRF Gleichung? Ohne TZ könntest du das gar nicht wissen.

   4) TZ ist definiert als ( ENDLICHE ) Reihenentwicklung einer GRF nach POTENZEN ihrer POLSTELLEN .

    5) Wir brauchen das hier gar nicht weiter diskutieren; es gibt einen Existenz-und Eindeutigkeitssatz, dass das ( quadratiasche ) LGS zur Bestimmung der Entwicklungskoeffizienten ( EK )  der TZ stets linear unabhängig ist .

     6) Die Praxis sieht ( Gott sei Dank ) etwas einfacher aus. Zur Bestimmung dieser EK bietet sich das " Abdecker-bzw. Zuhälterverfahren " an; erst seit Erfindung des Zuhälterverfahrens ist TZ praktisch rasch durchführbar.

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Du musst deine Frage genauer formulieren. Worum geh es? Lösen von Gleichungen? Koeffizientenvergleich? Was meinst du damit?

Als Beispiel hast du eine Gleichung angegeben. Du führst es aber nicht aus. Was willst du mit der Gleichung?

Lösen lâsst sie sich nivht, jedenfalls nicht eindeutig.

SonRatgeb 02.07.2017, 13:38

Doch, sie lässt sich mit dem Koeffizientenvergleich lösen:
A*x = 2x → A=2
B*y = 0 → B = 0
so wird auch ein Beispiel auf Wikipedia gelöst, aber der Koeffizientenvergleich ist nicht immer anwendbar. Auf Wikipedia ist das etwas abstrakt erklärt. :/

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