Warum darf in der Mathe nicht durch null (0) geteilt werden?

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12 Antworten

Probiere aus, was passiert, wenn Du durch Zahlen teilst, die nahe an Null sind:

1/0.1=10, 1/0.01=100, 1/0.000001=1000000, etc.

Je näher der Nenner an Null ist, desto größer ist das Ergebnis. Teilt man tatsächlich durch Null, würde theoretisch Unendlich heraus kommen, daher ist es nicht definiert.

Wenn unendlich herauskommen würde, wäre 1/0 mit unendlich wohldefiniert. Das Problem ist, dass, wenn man vom Negativen an die 0 geht, der Grenzwert gegen -unendlich geht, der linklim ist also nicht gleich dem rechtslim!

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@Roach5

das eine war eine Erklärung für die 8.Klasse, das andere für die 11.
Und Deine (sehr richtige und gute) vielleicht schon für's 1.Sem im Studium ;-D

DH

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Eine etwas ausführliche Antwort, die etwas mehr ins Abstrakte gehst, ich hoffe sehr du kannst mir folgen:

Worin wir normalerweise rechnen, nämlich in den rationalen Zahlen oder von mir aus den reellen Zahlen, nennt man einen Körper. Ein Körper besteht aus einer Menge und zwei Rechenoperationen, abstrakt gesehen sind die Elemente der Menge die "Zahlen", mit denen man rechnet, und die Rechenoperationen einfach Funktionen, die aus zwei "Zahlen" eine neue machen. Z.B. sind die Addition und die Multiplikation Rechenoperationen (so offensichtlich das klingt, man sollte es ansprechen und sich klarmachen, die Addition ist einfach eine Funktion, die zwei Zahlen, nämlich den beiden Summanden, einfach eine neue Zahl "zuweist", nämlich die Summe, genauso mit der Multiplikation).

Die beiden Rechenoperationen, der Einfachheit halber nennen wir sie wirklich Addition und Multiplikation, müssen auch bestimmte Regeln erfüllen.

Zum Beispiel müssen beide Operationen ein sogenanntes neutrales Element besitzen, also ein Element, sodass die Rechenoperation mit einem beliebigen Objekt und dem neutralen Element dieses nicht verändert, die Addition besitzt das neutrale Element 0 und die Multiplikation das neutrale Element 1, es gilt: a + 0 = a und a * 1 = a.

Es gelten alle Rechenregeln, die du in der Schule kennst, also Assoziativgesetz, Distributivgesetz, du hattest das alles an irgendeinem Punkt in deinem Leben schonmal gesehen.

Außerdem besitzt jedes Element zu jeder Rechenoperation ein Inverses, also ein Element, dass die "Zusammenrechnung" mit der Rechenoperation des Elementes mit ihrem inversen das Neutrale Element ergibt. Das inverse Element der Addition von a nennen wir -a und es gilt a + (-a) = 0. Wir schreiben aus Schönheitsgründen x + (-a) = x - a. Ähnlich geht es auch mit der Multiplikation, das inverse schreibt sich a^(-1) und es gilt a * a^(-1) = 1, wir schreiben aus Schönheitsgründen x * a^(-1) = x/a.

Jetzt wo du einen Überblick über Körper hast, fragen wir uns: Besitzt das neutrale Element der Addition ein multiplikatives inverses? Also existiert ein x sodass 0 * x = 1? Das ist genau deine Frage, denn wenn man irgendeine Zahl a/0 teilen kann, dann ist (weil 1 das neutrale Element der Multiplikation ist) a/0 = (a * 1)/0 = a * 1/0, unser 1/0 ist genau das multiplikative Inverse zu 0.

Einfachster Widerspruchsbeweis des Tages:

Angenommen, es gäbe ein x, sodass 0 * x = 1. Dann gilt aber 0 * x = 0. Daraus folgt 1 = 0. Damit ist der Widerspruchsbeweis schon abgeschlossen, es bleibt nur noch zu klären, warum das neutrale Element der Addition die Eigenschaft hat, dass x * 0 immer 0 ergibt. Außerdem ist es nicht sofort offensichtich, dass die neutralen Elemente unbedingt verschieden sein müssen, also warum ist 1 = 0 unmöglich?

Nun, dass 0 * x = 0 ist relativ einfach, du rechnest einfach stur mit den Rechenregeln aus der Schule, insbesondere dem Distributivgesetz, dann gilt nämlich 0 * x = (a - a) * x = a * x - a * x = 0.

Warum gilt 1 ungleich 0? Die betrügerische Methode ist die, dass man einfach fordert, dass 1 ungleich 0 gelten muss. Das ist einfach eine Definitionssache, du siehst aber sehr schnell, dass diese Forderung durchaus Sinn ergibt. Wenn du 1 = 0 erlaubst, dann gilt x = x * 1 = x * (1*0) = x * 0 = 0, also wären alle Elemente 0, und in einem Körper zu rechnen, der nur aus der 0 besteht, macht einfach keinen Spaß ;)

LG

15 : 3 = 5  bedeutet : 15 = 3 * 5

Hätte ich 15 : 0 = x, so müsste also 15 = 0*x sein. Das ist aber nicht möglich, da 0*x immer 0 ergibt.

Sonderfall: 0:0. Setze 0:0 = x. Wir hätten 0=0*x. Dies ist immer richtig, also hat 0:0 kein eindeutiges Ergebnis und ist daher ebenfalls undefiniert.

(Dagegen können Grenzwerte der From 0:0 durchaus existieren. Beachte aber, dass ein "Grenzwert der Form 0:0" nicht dasselbe ist wie der Quotient 0:0 - letzterer ist und bleibt undefiniert.)

Durch etwas teilen ist definiert als mit seinem Kehrwert zu multiplizieren.In den Reelen Zahlen hat die 0 keinen Kehrwert, von daher kann man nicht durch 0 teilen

Oder auch : Angenommen es ginge, und es würde gelten 

a/0=b, dann würde daraus folgen, dass b*0=a ist, was nicht sein kann..

Die beste Antwort!

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Das hat etwas zu tun mit den Umkehrungsrechnungen. Multiplikation und Division bedigen sich ja gegenseitig in folgender Art:

2 * 3 =   6       6 : 3 = 2      genau rückwärts
7 * 8 = 56     56 : 8 = 7
0 * 3 =   0       0 : 3 = 0

Das ist zulässig.

Aber wie ist es so herum (0 als Divisor)?
3 * 0 = 0       0 : 0 = 3
5 * 0 = 0       0 : 0 = 5

Während die Multiplikation keinen Widerspruch erzeugt, verstößt die Umkehrung gegen die in der Mathematik geforderte Eindeutigkeit.
Daher ist es verboten, durch Null zu dividieren.

Ähm demnach ist auch Differentialrechnung verboten?

Genaugenommen ist sogar die Exponentialrechnung schon verboten oder?

Den die Umkehr ist hier nicht eindeutig..

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@Jackie251

Ähm demnach ist auch Differentialrechnung verboten?

Bei der Differentialrechnung  wird nicht durch 0 dividiert, sondern da wird ein Grenzwert bestimmt.

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@Jackie251

Es ist nicht nur ein Eindeutigkeitsproblem, sondern auch ein Regelverstoß. Normalerweise kommt immer 1 heraus, wenn Zähler und Nenner gleich ist und nicht 3 oder 5.

Als ergänzendes Beispiel:

5 : 0 = ?

Was soll da herauskommen? Egal was man in der Umkehrrechnung mal 0 nimmt, es wird nie 5 heraus kommen.

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@Suboptimierer

Die Grenzwertbestimmung ermöglicht gewisse Aussagen.
Umkehrbarkeit ist in der Mathematik aber kein Kriterium.
nach dem quadrieren kann ich ja auch nicht mehr sagen, welche Zahl quadriert wurde (oder zumindest nicht mehr ihr Vorzeichen).
Auch wenn also der  Limes
5 : 0  gegen Unendlich geht, bedeutet das nicht, der der Limes falsch ist, weil die Umkehroperation
∞ x 0 nicht wieder 5 ergibt
Es ist durchaus logisch warum man etwas nicht auf 0 Ziele aufteilen kann. Die Begründung jedoch, die Mathematik würde würde immer eine eindeutige Umkehrrechnung erfordern, ist falsch.

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@Jackie251

Die Begründung jedoch, die Mathematik würde würde immer eine eindeutige Umkehrrechnung erfordern, ist falsch.

Von einem ufer- und kontextlosen "immer" war nirgends die Rede. Sondern von einem Operator, nämlich dem Divisionsoperator. Und Operatoren erfordern eindeutige Ergebnisse, sonst wären sie keine.

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@ac1000

Die Aussage war "Das hat etwas zu tun mit den Umkehrungsrechnungen."

"Umkehrrechnung" ist dabei nicht eineindeutig definiert. Umgangssprachlich versteht man wohl eine Möglichkeit der Rückrechnung -was wohl für die wenigsten bei den Grundrechenarten endet.

Wollen wir jetzt wirklich eine Umfrage starten ob auf die Frage "welches ist die Umkehrrechnung zum quadrieren?" nicht doch der Löwenanteil die Antwort "ziehen der Quadratwurzel" wählen würde?

Einem Laien (und der FS ist dies unübersehbar) eine nicht erlaubte Berechnung darum zu begründen, dass bei der Rückrechnung nicht wieder die ursprüngliche Ergebnis herauskommt, ist imho naja... mau :-(

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Ich bin ursprünglich Mathelehrer. Ich werde das Dividieren durch Null aber niemandem verbieten. Ein Verbot per Gesetz wäre meiner Meinung nach auch sehr fraglich und schwer durchzusetzen. Als die Amerikaner eines Bundesstaates die Kreiszahl Pi auf 3.0 per Gesetz definierten, war das auch nicht sehr hilfreich.

Mit anderen Worten: Meine Schüler dürfen sehr wohl durch 0 teilen, sie müssen aber wissen, was dabei herauskommt (Beim Taschenrechner ist das meist "ERROR" - einen Hausarrest gibt es deswegen aber trotzdem nicht).

Dass eine Divison durch Null aber nicht immer zu einem geistreichen Resultat kommt, zeigen die folgenden drei Sachverhalte (A, B, C).

A) Positive Zahl a

a / 0 = ??? (dabei musst Du den Kuchen a in Teile der Größe 0 aufteilen. Da gibt es unendlich viele Stücke: a/0 = unendlich

B) negative Zahl b

Wie oft musst Du 0 zusammenzählen um zum Beispiel auf die Zahl -2 zu kommen? Dies könnte man als minus unendlich oft bezeichnen.

b / 0 = minus unendlich

C) 0/0

Hier hilft ein Blick auf die Umkehrung oder auf die Definition der Division

10 / 2 = 5, denn 5 * 2 = 10

analog;

0 / 0 = 5, denn 5 * 0 = 0

Bei der Division von 0 / 0 kommt also immer die gesamte Grundmenge (N, Q, R, C, ...) heraus.

Da stellt sich mir gerade die Frage, wie oft muss ich 0 zusammenzählen um zur imaginären Einheit i zu gelangen? Unendlich mal i natürlich ;-)

Weil das Ergebnis nicht eindeutig ist.

y:0=x
y=0*x
0=0*x
0/0=x

Innerhalb der Komplexen Zahlen gibt es eine Lösung für die Division durch Null!

wie willst du eine zahl durch nichts teilen? es ist ja dann keine richtige aufgabe

Du kannst 5 Kekse nicht auf 0 Freunde aufteilen 😉

- weil die Frage ist dann - 5 durch null ist dass dann 5? Unlogisch man teilt es ja auf, ist es null? Auch unlogisch es ist einfach unlogisch es kommt dann keine klare Antwort heraus

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Ja ok aber die Kekse bleiben dann bei mir ;) aber wenn du mit Taschenrechner teilst wo bleiben  die Keks ;)

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Die Kekse bleiben beim Taschenrechner nur im Kopf

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Hmaha;/

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gib sie mir ;-D

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Dazu 2 Sprüche: Chuck Norris kann durch Null teilen.

Schwarze Löcher sind da, wo Gott durch Null geteilt hat.

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