Wann weiß ich, dass ich 100% einen Sattelpunkt habe?

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6 Antworten

Natürlich ist die dritte Ableitung relevant für die Sattelpunkt-Eigenschaft.

Ebenso, wie für eine Extremum-Eigenschaft auch die 2. Ableitung relevant ist. Gegenbeispiel ist ironischerweise genau der Sattelpunkt.

Schau dir die Potenzfunktionen x^n an.

Bei geraden n hast du bei x=0 ein Minimum, bei ungeraden n für n>1 bei x=0 einen Sattelpunkt.

Hierbei ist die erste nicht-verschwindende Ableitung bei x=0 die n-te Ableitung.

Allgemein ist eine hinreichende Bedingung für das Vorliegen eines Sattelpunktes, dass die erste nichtverschwindende Ableitung mindestens von 3. Ordnung und von ungerader Ordnung ist.

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Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt, in dem die Ableitung 0 ist.

Man kann auch sagen: Ein Sattelpunkt von f(x) ist eine Nullstelle von f'(x), der kein Extremwert von f(x) ist.

Mach' es Dir anschaulich: Wie sieht denn die Umgebung eines Sattelpunktes aus?

Da flacht die Kurve von links unten [oben] kommend solange ab, bis sie am Sattelpunkt selbst für einen Augenblick waagerecht verläuft, um dann hinter dem Punkt nach rechts oben [unten] wieder steiler zu werden. Wichtig für einen Sattelpunkt ist, dass die Kurve im Punkt selbst wirklich waagerecht verläuft.

Was macht also die Ableitung? Sie wird, aus dem Positiven [Negativen] kommend, kleiner [größer], erreicht den Wert 0 und wächst [fällt] wieder. Sie erfährt also insbesondere keinen Vorzeichenwechsel.

Die dritte Ableitung spielt dabei keine Rolle. f''(x) =0 ist aber definitiv keine hinreichende Bedingung. 

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Ist f'(x)<>0 und f''(x)=0, dann ist dort KEIN Sattelpunkt, sondern ein "normaler" Wendepunkt. Für die mögliche Existenz eines Hoch-/Tiefpunktes MUSS f'(x)=0 erfüllt sein.

Voraussetzung für einen Sattelpunkt ist, dass f'(x)=f''(x)=0 gilt. Ist dann f'''(x)<>0, ist dort ein Sattelpunkt. Ist f'''(x) auch Null, muss solange weiter abgeleitet werden bis eine Ableitung Null wird. Ist diese eine Ableitung ungerader Ordnung, also 3., 5., 7., usw. Ableitung, dann ist dort ein Sattelpunkt. Ist es eine Ableitung gerader Ordnung, dann ist dort ein Extrempunkt.
klassisches Beispiel: f(x)=x^4
f'(x)=4x³     => f'(0)=0
f''(x)=12x²  => f''(0)=0
f'''(x)=24x  => f'''(0)=0
f''''(x)=24   => f''''(0)=24
=> 4. Ableitung ist ungleich Null, also ist bei x=0 ein Extrempunkt

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Kommentar von Rhenane
04.11.2016, 18:19

Auch wenn - wie bei eurer Funktion - f'(x0)<>0 ist und f''(x0)=0, heißt das nicht automatisch, dass an der Stelle x0 ein Wendepunkt existiert.

Beispiel: f(x)=x^4+x
f'(x)=4x³+1
f''(x)=12x² => f''(x)=0 <=> x=0       (f'(0)=1)
f'''(x)=24x => f'''(0)=0
f'''(x)=24 => f''''(0)=24<>0 => 4.Ableitung<>0 => kein Wendepunkt

andere Überlegung (ohne weiter abzuleiten):
An der 2. Ableitung liest man auch die Krümmung ab. In dem Beispiel ist die 2. Ableitung immer >=0, d. h. der Graph ist immer links-
gekrümmt, d. h. es gibt keinen Wendepunkt, da an einem Wendepunkt die Krümmung wechselt...

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Es ist nicht relevant.
Wenn f" = 0 ist, kann es kein Hoch- oder Tiefpunkt sein, somit muss es ein Sattelpunkt sein. Andernfalls wäre f' schon nicht = 0 gewesen.

Als Alternative kannst du doch einfach mal die "Umgebung untersuchen" (Fachbegriff gerade entfallen), d.h. du setzt für f' einen Wert links und einen Wert rechts deiner vermeintlichen Extremstelle ein. Bleibt die Steigung (die ja durch f' angegeben wird) gleich (also positiv/negativ) ist es eine Sattelstelle (da sich die Steigung also nicht von positiv-negativ oder umgekehrt, wie bei Extremstellen verändert).

Außerdem glaube ich mich erinnern zu können, dass eine doppelte Nullstelle einen Sattelpunkt belegt.

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Kommentar von Tebatibbas1234
03.11.2016, 22:06

Reche es nochmal mit dem Bespiel: f= x^4. Da kommt auch f''= 0 obwohl es kein sattelpunkt ist.

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Kommentar von XL3yed
03.11.2016, 22:22

Okay, stimmt.
Andererseits liegt bei x=0 eine doppelte (eigentlich dreifache) Nullstelle vor, was einen Sattelpunkt beweist.

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Kommentar von XL3yed
03.11.2016, 22:32

Oder keine Ahnung, bin da im Moment nicht drin im Thema 😂

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mE (meines Erachtens) kann nur ein Wendepunkt ein Sattelpunkt sein;

dh f " = 0 und f  ''' ungleich 0 ist Wendepunkt

und Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit zusätzlicher Bedingung einer

waagerechten Tangente, also f ' = 0

------------------------------

also alles zusammen für Sattelpunkt:

f ' = 0

f " = 0

f ''' ungleich 0

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Kommentar von Tebatibbas1234
03.11.2016, 22:07

Und sagst du, dass ihre Aussage nicht ganz stimmt, da man f ' ' ' auch noch bestimmen muss?

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Wenn f'' gleich null ist, dann ist es ein Sattelpunkt, es kann kein Hoch- oder Tiefpunkt sein, wenn es 0 ist.

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Kommentar von Tebatibbas1234
03.11.2016, 21:56

und wieso verwendet man dann die hinreichende bedingung?

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Kommentar von SlowPhil
04.11.2016, 08:40

Das stimmt so nicht. Nehmen wir f(x) =x⁴. Dann ist f''(x) = 12x², und an der Stelle x=0 ist das 0.

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