Wann macht man die Ableitung einer e-Funktion, wann nicht?

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4 Antworten

Wir haben gelernt, dass die e-Funktion ihre eigene Ableitung ist. Aber trotzdem haben wir irgendwann angefangen, die Ableitung von e-Funktionen mit dem natürlichen Logarithmus usw zu bilden. Wann bildet man nun diese Ableitung und wann nicht?

Die einfache Funktion f(x) = e^x ist ihre eigene Ableitung und ihr eigenes Integral, es gilt:

d/dx e^x = e^x = ∫ e^x

Das gilt aber nur, wenn die Basis e und der Exponent x ist, bei e^(2x) sähe die ganze Sache schon wieder anders aus, dann müssten wir nämlich die Kettenregel anwenden.

f(x) = e^(2x) können wir in die beiden Funktionen g(x) = e^x und h(x) = 2x zerlegen.

Mithilfe der Kettenregel können wir nun die Ableitung bilden, innere Ableitung mal äußere Ableitung:

f(x) = g(h(x)) → f'(x) = h'(x) ⋅ g'(h(x))

d/dx e^(2x) = (2x)' ⋅ e^(2x) = 2e^(2x)

Dabei ist der ln in der Ableitung nur in wenigen Fällen zu finden. Wobei man allerdings den ln benötigt, ist in der Ableitung von Exponentialfunktionen a^x.

Denn: d/dx a^x = ln(a) ⋅ a^x

Sollst du also die Funktion 2^x ableiten, so lautet die Ableitung ln(2) ⋅ 2^x.

Daraus folgt auch einfach die Ableitung der e-Funktion, da ln(e) = 1.

Wann man die Kettenregel und wann die Produktregel benutzen muss, hab ich soweit verstanden. Nur in welchen Fällen muss man beide zusammen anwenden?

Genau dann, wenn du zwei verkettete Funktionen mit einem Produkt vorliegen hast, zum Beispiel hier:

f(x) = (sin(x) ⋅ cos(x))³

Für sin³(x) und cos³(x) nutzt du die Kettenregel, für sin(x) ⋅ cos(x) die Produktregel. Also allgemein einfach immer bei verketteten Produkten.

LG Willibergi

Die Kettenregel fällt innerhalb einer Produktregel an, wenn eine (oder beide) der multiplizierten Funktionen noch wieder eine weitere Funktion im Bauch hat.

f(x) = e^x * (x² + 1)³

u = e^x             u' = e^x

v = (x² + 1)³      v' =

Für v' musst du die Kettenregel nehmen, da in der Klammer wiederum eine Funktion steht:

äußere Ableitung: 3 * (x² + 1)²
innere Ableitung:   2x
Das Produkt schreibst du jetzt bei v' oben in die Tabelle
                        v' = 6x (x² + 1)²

und setzt das Ganze in die Produktformel ein.

Die Ableitung von f(x) = e^x ist f '(x) = e^x. 

Soweit so gut, aber die Ableitung von etwa g(x) = 5^x ist leider nicht g '(x) = 5^x. Wenn in der Basis also nicht e steht, ist etwas Kreativität gefordert: Wir schreiben die Basis um, sodass da irgendwann ein e steht:

5^x = (e^(ln(5)))^x = e^(x * ln 5). Und die Ableitung davon ist 

g '(x) = ln (5) * e^(x * ln 5) = ln (5) * 5^x.

Zur zweiten Frage: Du musst beide verwenden, wenn die Funktion ein Produkt von Verkettungen oder eine Verkettung von Produkten ist...

Beispiel: e^(sin(x) * x²) ist eine Verkettung von Produkten, denn wir können das umschreiben zu e^u(x) mit u(x) := sin(x) * x² und letzteres ist offensichtlich ein Produkt.

Noch ein Beispiel: e^sin(x) * sqrt(x² + 1) ist ein Produkt von Verkettungen, denn wir können es schreiben als e^v(x) * sqrt(w(x)) mit v(x) = sin(x) und w(x) = x² + 1.

  1. Die Ableitung der e-Funktion ist die e-Funktion, d.h. für f(x) = e^x gilt f'(x) = e^x. Steht im Argument bzw. im Exponenten jedoch noch mehr Gerümpel, muss natürlich ganz regulär die Kettenregel angewandt werden, wodurch das Ergebnis etwas komplizierter wird. Beispielsweise für f(x) = e^(x²+x) wäre f'(x) = e^(x²+x)*(2x+1).
  2. Die Kettenregel wird stets bei "Verschachtelungen" angewandt, siehe Definition der Kettenregel, die Produktregel wird bei Produkten verwendet, siehe Definition der Produktregel. Beide brauchst dementsprechend bei einer Verschachtelung in einem Produkt respektive einem Produkt in einer Verschachtelung. 

    [Theoretisch kannst du natürlich die Kettenregel immer anwenden, aber ist halt recht sinnlos, etwa für f(x) = e^x wäre somit f'(x) = e^x * 1 = e^x.]

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