Wann ist eine Matrix diagonalisierbar?

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2 Antworten

Die Dimension eines Vektorraums ist definiert als die Anzahl der Basisvektoren. Letztlich kannst du das also direkt auf die Anzahl der freien Parameter übertragen, da du einen Raum im Allgemeinen als Summe linear unabhängiger Vektoren darstellst.

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A. Die Matrix A soll sicher einen Endomorphismus eines Vektorrraums V bedeuten.

Sie ist genau dann diagonalisierbar, wenn es eine Basis aus lauter Eigenvektoren gibt. (Das muss nicht der Fall sein, s.u. D.)


B. Seien die k Eigenvektoren e_ i ∈ V mit jeweils

A(e_ i) = µ * e_ i

linear unabhängig und

λ_ i

ein für je ein e_ i frei wählbarer Skalar. Dann ist

U = { ∑ λ_ i * e_ i }, i = 1,...,k,

ein Unterraum U von V, und für beliebigen Vektor u ∈ U ist

A(u) =

A ( ∑ λ_ i * e_ i ) =

∑ A ( λ_ i * e_ i ) =

∑ λ_ i * A(e_ i ) =

∑ λ_ i * µ (e_ i ) =

µ ∑ λ_ i * (e_ i ) =

µ u;

ganz U besteht also wegen Linearität von A aus lauter Eigenvektoren und heißt deswegen ( k-dimensionaler ! ) Eigenraum.


C. Zu einem Eigenwert kann es außer Eigenvektoren noch Hauptvektoren geben. Ein Hauptvektor ist ein Vektor, den A in eine Summe abbildet, die

außer dem Eigenwert-Fachen des Hauptvektors selbst

das 1-fache eines weiteren Hauptvektors als weiteren Summanden

enthalten kann (aber nicht muss). Wegen "kann" ist jeder Eigenvektor ist auch Hauptvektor, aber nicht umgekehrt.

. . .

Zu jedem algebraisch k-fachen Eigenwert gibt es immer (genau) k linear unabhängige Hauptvektoren (nachgucken unter "Satz von der Hauptraumzerlegung").

Diese Hauptvektoren können alle Eigenvektoren sein (⇔ A(h) = µh; genau dann stimmt die Dimension des Eigenraums = geometrische Vielfachheit des Eigenwerts mit der algebraischen überein) ,

müssen aber nicht , sondern können auch "Hauptvektoren im engeren Sinne" sein und also zu keinem Eigenraum gehören ( ⇔ A(h) = µh + h'; genau dann ist die Dimension des Eigenraums = geometrische Vielfachheit des Eigenwerts klener als die algebraische).

. . .

Eine Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn jeder Hauptvektor Eigenvektor ist, weil dann ... (siehe A. ). Deswegen stimmen genau dann algebraische und geometrische Vielfachheit (je eines gegebenen aller Eigenwerte) überein.


D. Ein von

( t , t , 0 ) ^T = t * (1, 1, 0)^T

aufgespannter Eigenraum ist eindimensional, weil t im wählbaren Skalar "verschwindet" (vgl. diesen Effekt bei Parameterformen der analytischen Geometrie).

. . .

Die Abbildung mit der Matirx

5 1 0

0 5 0

0 0 5

hat einen zweidimensionalen Eigenraum, denn sie bildet alle

λ1 * (1, 0, 0)^T + λ2 * (0, 0,1)^T

auf ihr 5faches ab (Eigenwert µ = 5 aller Vektoren des Eigenraums).

Die Abbildung hat auch einen Hauptvektor, der nicht Eigenvektor ist, nämlich (0, 1, 0)^T, und sie ist nicht diagonalisierbar.

µ = 5 hat die algebraische Vielfachheit 3 , aber nur die geometrische Vielfachheit 2.

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Kommentar von Kickflip
27.11.2013, 19:51

Oh Gott... ich tue mich immer schwer mit diesen allgemeinen Schreibweisen.

Also ist die geometrische Vielfachheit = der Dimension des Lösungraumes = die Anzahl an Basisvektoren ?

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