Wann ist ein Vektor ein Basisvektor? Wann nicht?

3 Antworten

Jeder vom Nullvektor verschiedene Vektor kann Teil einer Basis sein.

Allgemeiner: Jede Menge linear unabhängiger Vektoren lässt sich erweitern zu einer Basis.

Wenn eine Menge M von Vektoren (aus einem gegebenen linearen Vektorraum) eine Basis enthält, nennt man sie ein Erzeugendensystem. Insbesondere ist jede Basis des Raumes ein Erzeugendensystem.

Basen sind kleinstmögliche Erzeugendensysteme.

Hallo Maximilian132,

Im R² sind die Standardbasen ja (1, 0)^T und (0, 1)^T.

Singular. Es sind n=2 Basisvektoren, aber eine Basis. Dasselbe gilt für das Folgende:

Aber könnten ... nicht genauso gut Basen im R² sein?

Können sie nicht nur, sie tun es: Sie bilden eine Basis des R². Es gibt unendlich viele davon. Es sind nur nicht alles orthonormale Basen. Eine Basis

{|b›₁, |b›₂, … , |b›_[n]}

des Rⁿ heißt orthonormal, wenn das Skalarprodukt zweier Basisvektoren

[i]_‹b|b›_[j] = δ_[ij],

wobei δ_[ij] = 1 ist, falls i = j ist, und sonst 0. Die Schreibweise habe ich an Paul Dirac angelehnt; '|…›' für Spalten- und '‹…|' für Zeilenvektoren steht.

Wann sind Basen ein Erzeugendensystem?

Eine Basis ist immer ein Erzeugendensystem, und zwar ein linear unabhängiges.

Ich habe ' ^T' geschrieben (transponiert), da ich hier leider keine Matheformeln einfügen kann. Bitte den Vektor senkrecht vorstellen.

Haben wir verstanden. Man könnte natürlich auch

|v› = (v₁; v₂) (Semikolon statt Komma)

oder

|v› = (v₁ | v₂) (vertikaler Strich zwischen den Komponenten)

schreiben. Jedenfalls sollte man gerade nach einem Komma unbedingt ein Leerzeichen schreiben, wenn man Zahlen schreibt, um es nicht wie ein Dezimalkomma aussehen zu lassen.

Aber könnten die Vektoren (8,7)^T und (3,2)^T nicht genauso gut Basen im IR^2 sein?

Natürlich könnten sie das.

Jedes Paar beliebige linear unabhängige Vektoren bilden in R2 eine Basis.

Was möchtest Du wissen?