Wann halbiert sich ein Bestand bei einer vierteljährlichen Abnahme von 2.5%?

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4 Antworten

die allgemeine Funktion lautet: f(t)=a * q^(k * t)
a ist der Startwert, also hier a=1 (=100%). q ist der "Wachstumsfaktor", also richtigerweise q=0,975 (=100%-2,5%). k ist sozusagen die Zeitperiode. t ist die Zeit (hier z. B. in Monaten). Da erst nach 3 Monaten, also t=3, die erste Abnahme greift, muss k=1/3 sein, denn 1/3 * 3 = 1, somit ist der Bestand nach den ersten 3 Monaten f(3)=a * q^(1/3 * 3) = 1 * 0,975^1

Die Funktion lautet also f(t)=0,975^(t/3)
Jetzt musst Du f(t)=1/2 setzen und nach t umformen...
0,5=0,975^(t/3)           |ln
ln(0,5)=t/3 * ln(0,975) |* 3 : ln(0,975)
t=3 * ln(0,5)/ln(0,975)
t=82,13
Also nach ca. 82 Monaten ist der Bestand halbiert.

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Kommentar von BlackStorm15
19.06.2017, 21:37

Echt krass, Danke ^^

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Ob jährlich oder vierteljährlich ist doch im Vorwege völlig gleichgültig.

Da      1/2 = 1 * 0,975ⁿ       und n die Anzahl der Zeitperioden ist, kann man  erst nach der Rechnung definieren, was man haben will.

Wegen    n log 0,975 = log 0,5
                            n  = log 0,5 / (log 0,975)
                            n  = 28   Perioden (gerundet)

bekommst du die Menge der Zeitperioden genau in der Art, wie du ihre Länge vorgibst.

Wenn es um 2,5% pro Jahr geht, dann sind es 28 Jahre,
wenn es um 2,5% je Vierteljahr geht, dann eben 28/4 Jahre = 7 Jahre.

Die Probe ist am Beispiel 100 g:
100 * 0,975²⁷ = 50,48                      Das ist rund die Hälfte.

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5 Jahre.

1/4 jahr = 2,5%
Gefragt ist die zeit wann der bestand halbiert ist, also 50%.

50%/2,5% = 20

Da die abnahme vierteljährlich ist, also alle 3 Monate rechnet man 20*3 = 60

Ergebnis 60 Monate. 60/12 (weil das jahr 12 monate hat) = 5 jahre.

Ergo, der Bestand halbiert sich nach 5 Jahren.

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Kommentar von elkewinkle
19.06.2017, 21:27

Wow😮😅

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Kommentar von Volens
19.06.2017, 23:54

Selbst wenn die Zeit 20 Jahre wäre, dann wären dies 20 * 4 Vierteljahre und nicht 20 * 3.

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Kommentar von Zwieferl
21.06.2017, 13:01

Gut und schlüssig erklärt - ist aber ein Topfen!

Wie es richtig funktioniert: siehe Antwort von Rhenane.

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Kommentar von Dontliveinpast
21.06.2017, 22:11

ja hab auch gemerkt das da was nicht stimmt aber @Volens, 20*3 würde schon stimmen. da es nicht 20 jahre sondern laut der rechnung 20 1/4 jahre. und da 1/4 jahr 3 monate hat mal 3 :)

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Ich habe zwar null Ahnung aber bei einem Viertel würde ich 0,975:4 machen

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Kommentar von Volens
19.06.2017, 23:56

Du darfst zwar bei einer Exponentialfunktion dieser Art den Exponenten durch 4 dividieren, aber niemals die Basis.

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