Wann gilt das 2. Newtonsche Gesetz F = m*a?

6 Antworten

Newtons Gesetz im Newton-Limes

Muss die Bewegung geradlinig oder gleichmäßig beschleunigt sein?

Nein, es gilt auch für nicht gleichförmige Beschleunigungen, vorausgesagt, m ist konstant bzw. man rechnet nur das mit, was mitbeschleunigt wird.

Genauer wäre allerdings

(1.1) F⃗ = m·a⃗,

das ich auch gern als

(1.2) |F› = m·|a›

schreibe, weil das in der App auch dargestellt und nicht mit irgendwelchen Kästchen wiedergegeben wird.

Wenn die Beschleunigung durch Rückstoß von mitgeführtem Treibstoff verursacht wird, so ist m nicht konstant, und der Massenverlust muss berücksichtigt werden, wofür gilgamesch4711 einen beachtens- und durchdenkenswerten Ansatz

(2) |F›·dt = d|p› = d(m·|v›) = m·d|v› + |v›·dm

formuliert hat.

Außerhalb des Newton-Limes

Prä-Minkowski-Wording

In Joos, Theoretische Physik wird dieser Ansatz auch für große Geschwindigkeiten verwendet, die im Vergleich zur Vakuumlichtgeschwindigkeit c nicht mehr klein sind, wobei m hier die »relativistische Masse« m = γ·m₀ mit der »Ruhemasse« m₀ und dem Lorentz-Faktor

(3) γ = 1/√{1 – (v/c)²}

ist. Dabei kommt heraus, dass die so verstandene Masse kein Skalar mehr ist, sondern ein Tensor, da γ·m₀ nur die Quermasse ist, während die Längsmasse γ³·m₀ beträgt.

Raumzeitliche Betrachtung 

Allerdings stellt Joos auch die raumzeitliche Betrachtungsweise vor, die von Einsteins Lehrer Hermann Minkowski eingeführt wurde. In dieser Betrachtung wird entfällt der Index »0« in m₀, m ist einfach die Masse und ein Lorentz-Skalar.

Der (räumliche) Impuls ist |p› = m·γ·|v›, wobei jedoch der Lorentz-Faktor nicht m, sondern |v› zugerechnet wird, nämlich als räumlichem Anteil der Vierergeschwindigkeit

(4.1) |v» = γ(c; |v›)

mit dem (Minkowski-) Betrag

(4.2) √{«v|v»} = γc√{1 – ‹v|v›/c²} ≡ c,

deren Ableitung nach der Eigenzeit τ (natürlich nicht nach der Koordinate t) die Viererbeschleunigung |a» ist; übrigens ist sie immer senkrecht zu |v», was ja auch so sein muss, damit sich der Minkowski-Betrag von |v» niemals ändert.

Mit der Energie E=γmc² des Körpers als Zeitkomponente ergibt sich daraus der Viererimpuls

(5.1) |p» = (E/c; |p›)

mit dem Minkowski-Betrag

(5.2) √{«p|p»} = √{E/c – ‹p|p›} = mc,

was nichts anderes als die relativistische Energie-Impuls-Beziehung ist.

Dessen Ableitung nach τ ist die Viererkraft

(6) |F» = m·|a» = γ(P/c; |F›)

Fazit

Wenn man raumzeitlich denkt, gilt Newtons Gesetz auch außerhalb des Newton-Limes. 

     Newton wusste es schon besser; die Definition des Impulses

      p  .=  m  v      (  1a  )

      Dann ist die Kraft eingeführt als

     F  :=  ( dp/dt ) = m ( dv/dt ) + v ( dm/dt )      ( 1b )

    Der zweite Term auf Grund der Produktregel. Bei einem Massenpunkt mit konstanter Masse spielt der natürlich keine rolle; zwei Gegenbeispiele. Die ===> Raketengleichung. Im Bezugssystem der Rakete werden die Gase ausgestoßen mit der konstanten Geschwindigkeit ( - V ) ( Pluszeichen: Bewegng nach Rechts bzw. Oben ) , während sich in dem ruhenden Bezugssystem die Rakete mit v = v ( t ) bewegen möge.  Dann hat das Massenelement dm des Gases im ruhenden Bezugssystem den Impuls

         ( dp ) ( g )  =  (  v  -  V  )  dm       (  2a  )

         Die Rakete hat Impuls

      p  ( Rak )  =  m  (  t  )  v  (  t  )        (  2b  )

      weil ja ihre Masse Zeit abhängig kst; ständig abnimmt. Die Änderungsrate ihres Impulses

    dp  ( Rak )  =  m  dv  -  v  dm      (  2c  )

     Das Minuszeichen in ( 2c ) halte ich für wesentlich; eine Masse ist immer positiv. Minuszeichen dürfen wir nie verstecken; wenn eine Masse weniger wird, ist das " Minus ein Massenelement "  Rein von der Massenbilanz ist das übrigens auch einzusehen; die Masse dm , die in ( 2a ) mit Pluszeichen zu Buche schlägt, muss ich doch in ( 2c ) bei der Rakete abziehen.

   Der Gesamtimpuls bleibt erhalten:

    ( dp ) ( g )  +  dp  ( Rak )  =  0  =  m  dv  -  V  dm     (  3a  )

     ( dv/dm )  =  V / m     (  3b  )

    (  3b  )  ist eine trennbare DGL

     dv  =  ( V / m )  dm   |  $     (  3c  )

  Integrieren wir ( 3c ) bestimmt. Dann ist dv > 0 und geht von 0 bis v ( t  ) ;  dm ist eben Falls positiv, geht also von  m (  t  ) bis M := m ( 0 )

     v  =  v  (  m  )  =  V  ln  ( M / m )     (  4  )

     Interpretation.  Die Endgeschwindigkeit ist proportional V ; das verstehen wir. Aber was ( 4 ) vor allem aussagt, ist, dass jede Treibstoffzuladung immer weiteren Treibstoff verlangt; das exponentielle Wachstum. Um die dreifache Endgeschwindigkeit zu erreichen, brauchst du die tausendfache Treibstoffmenge.

    Ich erinnere mich noch gut an Daniel Düsentrieb, den Treibstoffneurotiker im Weltraum. Auf einmal liegen Tick, Trick und Track im Bett so hart auf ihren Kissen.

    " Was ist denn da los? "

    " Was  soll's schon sein? Treibstoff ... "

    So; zur Sicherheit schicke ich erst mal ab.

F = m * a sagt nichts anderes aus, als dass auf eine bestimmte Masse, welche beschleunigt wird, eine bestimmte Kraft wirkt.

Ohne den Einfluss einer der Kräfte bzw. Wechselwirkungen kann nichts wirkliches beschleunigt oder gebremst werden.

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