Wahrscheinlichkeitsrechnungen: Aufgabe: Wie rechne ich das?

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4 Antworten

Um solche Aufgaben zu lösen, musst du ersteinmal die Ergebnismenge herausfinden. D.h. du schreibst alle möglichen Ergebnisse auf. Das geht am besten mit einem Baumdiagramm. Es fängt dann an mit zzzz, zzzw... und hört bei wwww auf. Wenn du alle Ergebnisse aufgeschrieben hast, musst du schauen, in wie vielen davon zweimal Zahl vorkommt. Das sind dann 6 Ergebnisse. Also liegt die Wahrscheinlichkeit bei 6/16, das sind 3/8, das sind 37,5 % wenn du es durchmultiplizierst. Die anderen kannst du genauso lösen, immer schauen, wie viele Ergebnisse passen würden für die Aufgabe, dann durch die Anzahl aller Ergebnisse, also 16 teilen und dann das Komma um 2 Stellen nach rechts verschieben um die Prozentzahl zu bekommen ! Viel Glück bei der Arbeit, ich hoffe, ich konnte dir helfen

Vielen Dank! Ja, jetzt versteh ich das alles endlich mal :D

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Es gibt insgesamt 16 mögliche Ergebnisse. Das bedeutet der Nenner im Bruch muss 16 sein. 6 treffen auf a) zu. Das bedeutet 6/16= 3/8. Am besten machst du dir immer ein Baumdiagramm.

Es handelt sich um ein n-stufiges Bernoulli-Experiment.

Ein solches liegt vor, wenn n gleichartige Versuche durchgeführt werden, die jeweils genau eines von zwei möglichen Ergebnissen haben können (Wappen oder Zahl) und bei denen die Wahrscheinlichkeiten p für den Eintritt des einen bzw. q für den Eintritt des anderen Ergebnisses bekannt sind. (Es genügt bereits, dass p ODER q bekannt sind, da sich wegen p + q = 1 das eine aus dem anderen ergibt).

Dann gilt:

Bei einem n-stufigen Bernoulli-Experiment mit den Wahrscheinlichkeiten p für das eine und q = 1 - p für das andere Versuchsergebnis beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass k mal das eine Versuchsergebnis erzielt wird :

P ( n; p; k ) = ( n über k ) * p ^ k * q ^ ( n - k )

Für alle Versuchsergebnisse der gestellten Aufgabe gilt:

n = 4

p = 0,5

q = 0,5

a) Genau k = 2 Wappen sollen auftreten, also

P ( 4 ; 0,5 ; 2 ) = ( 4 über 2 ) * 0,5 ^ 2 * 0,5 ^ ( 4 - 2 )

= 6 * ( 1 / 4 ) * ( 1 / 4 )

= 6 / 16 = 3 / 8 = 0,375 = 37,5 %

b) Es solllen ein oder zwei oder drei Wappen auftreten. Die Wahrscheinlichkeit Pges dafür ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten für k = 1, k = 2 und k = 3 , also:

Pges = P ( 4 ; 0,5 ; 1 ) + P ( 4 ; 0,5 ; 2 ) + P ( 4 ; 0,5 ; 3 )

= ( 4 über 1 ) * 0,5 ^ 1 * 0,5 ^ ( 4 - 1 )

+( 4 über 2 ) * 0,5 ^ 2 * 0,5 ^ ( 4 - 2 )

+( 4 über 3 ) * 0,5 ^ 3 * 0,5 ^ ( 4 - 3 )

= 4 * 0,5 * 0,5 ^ 3

+6 * 0,5 ² * 0,5 ²

+4 * 0,5 ^ 3 * 0,5

= 0,25 + 0,375 + 0,25

= 0,875

= 87,5 %

c) Pges = P ( 4 ; 0,5 ; 3 ) + P ( 4 ; 0,5 ; 4 )

d) Pges = 1 - P ( 4 ; 0,5 ; 4 )

Überlege zu c und d, warum das so sein muss und berechne auch die Wahrscheinlichkeiten selbst.

Bei b) musst du die Wahrscheinlichkeit für 1 Wappen, für 2 Wappen und für 3 Wappen ausrechnen und addieren. P(1Wappen)= 1/2mal1/2mal1/2mal1/2 P(2Wappen)= 1/2mal1/2mal1/2mal1/2 P(3Wappen)=1/2mal1/2mal1/2mal1/2 Und dann P(1W)+P(2W)+P(3W)

Bei c) rechnest du die Wahrscheinlichkeiten für 3 mal Wappen und 4 Mal Wappen aus und addierst diese.

Bei d) rechnest du die Wahrscheinlichkeiten für 0mal Wappen, 1 mal Wappen, 2 mal Wappen und 3 mal Wappen aus und addierst diese.

Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte!

Danke :) Nur ich hab noch eine Frage: In meinem Buch stand iwas von ich muss rechnen: 1-(dann die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis). Aber deine Rechenart scheint mir logischer. Kannst du mir den Unterschied iwie erklären?

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@Sallamausi

@ BerthaDiBaer:

zu b) Du behauptest also, dass

P ( 1 Wappen ) = P ( 2 Wappen ) = P ( 3 ) Wappen = ( 1 / 2 ) ^ 4 = 1 / 16

Nun, dann bist du doch sicher auch der Meinung, dass auch die Wahrscheinlichkeit für P ( 0 Wappen ) und P ( 4 Wappen ) jeweils gleich 1 / 16 ist, oder?

Zusammenaddiert ergibt sich damit P ( 0 bis 4 Wappen ) = 5 * ( 1 / 16 ) = 5 / 16

Dann allerdings muss es noch ein weiteres Ereignis geben, welches die Wahrscheinlichkeit P = 11 / 16 hat, die ja zu 16 / 16 = 1 noch fehlen. Welches Ereignis mag das wohl sein...?

Tatsächlich hast du übersehen, dass es zum Beispiel für das Auftreten genau eines Wappens vier Möglichkeiten gibt, nämlich beim ersten Wurf, beim zweiten Wurf, beim dritten Wurf oder beim vierten Wurf. Die Wahrscheinlichkeit für genau ein Wappen ist daher

P ( 1 Wappen ) = 4 / 16

Für das Auftreten von genau zwei Wappen gibt es sogar 6 Möglichkeiten, nämlich beim ersten und beim zweiten Wurf, beim ersten und beim dritten Wurf, beim ersten und beim vierten Wurf, beim zweiten und beim dritten Wurf ... usw. Die Wahrscheinlichkeit für genau zwei Wappen ist daher

P ( 2 Wappen ) = 6 / 16

Für das Auftreten von genau 3 Wappen gibt es wieder nur 4 Möglichkeiten, also

P ( 3 Wappen ) = 4 / 16

Für genau 0 Wappen gibt es nur eine Möglichkeit (alle Würfe ergeben Zahl). Und auch für genau 4 Wappen gibt es nur eine Möglichkeit, sodass also

P ( 0 Wappen ) = P ( 4 Wappen ) = 1 / 16

Addiert man nun, so erhält man

P ( 0 Wappen ) + P ( 1 Wappen ) + P ( 2 Wappen ) + P ( 3 Wappen ) + P ( 4 Wappen )

= ( 1 / 16 ) + ( 4 / 16 ) + ( 6 / 16 ) + ( 4 / 16 ) + ( 1 / 16 )

= 16 / 16 = 1

so wie es sein muss.

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