wahrscheinlichkeitsrechnung- mathe?

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3 Antworten

Das ist eine sehr gute Aufgaben zum Testen, welcher Typ einer ZV ist.

(c) X = #gekauft ~ Bin(n,p) mit n=650 und p=0,9. Da n=650 „groß“ ist, ist die Verteilung näherungsweise Gauß'sch, also kann man mit X ~ N(µ,σ²) rechnen, wobei µ=𝔼[X]=n·p=585 und σ² = Var(X) = n·p·(1–p) = 58,5. Diese bzgl. W-keiten Approximation ist ggf. notwendig, um den sonst sehr aufwändigen hier gesuchten Berechnung ℙ[X≤600] numerisch durchführen zu können.

Ich forme um: bezeichne mit Z die ZV Z := (X–µ)/σ. Dann gilt (näherungsweise bzgl. W-keiten) Z ~ N(0,1). Se z₀:=(600–µ)/σ = (600–585)/√58,5 ≈ 1,961161. Man berechnet also

ℙ[X ≤ 600] = ℙ[(X–µ)/σ ≤ (600–µ)/σ]
= ℙ[Z ≤ z₀]
97,50699% (durch Anwendung von Gaußvert.)

Man kann exakt berechnen mittels der binomischen Verteilung aber das überlastet die Rechner. ⊣

(d) X = #hat besondere Eigenschaft. Hier geht es um eine fixierte Menge: Bei der anderen Aufgabe gibts im Prinzip keine Grenze: es ist wie Münzen werfen, jede weitere Addition der 650 ist von den vorigen unabhängig. Hier hingegen hat quasi 120 Karten mit 100 besonderen, man zieht 10 Mal ohne zurückzulegen—jeder Zug ist durchaus von den vorigen abhängig. Hier ist die passende Verteilung somit die sog. hypergeometrische Verteilung. Darüber kannst du in der Literatur nachlesen.

Ich leite das hier kurz her. Wir können entweder gemäß dem Prinzip ziehen ohne Zurücklegen berechnen, und erhalten:

ℙ[X = 8] = ∏(100–k)/(120–k) von k=0 bis 8–1

oder wir können gemäß dem Prinzip „#Möglichkeiten mit 8 besonderen : #Möglichkeiten zur Wahl von 8“ berechnen und erhalten:

ℙ[X = 8] = (100 über 8) / (200 über 8)

Man kann kontrollieren und sehen, diese zwei Formen stimmen exakt miteinander überein. Zwecks der Numerik aber wähle ich die erste Form (sonst überlaste ich meinen Rechner):

ℙ[X = 8] = (100/200)(99/199)...(93/193)
≈ 0.337734% ⊣
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bei c) musst Du die kumulierte Wahrscheinlichkeit P(X<=600) ausrechnen, wobei n=650 und p=0,9 ist. Ich denke mal, das rechnet ihr mit dem Taschenrechner.

bei d) musst Du P(X=8) ausrechnen, mit n=10; k=8 und p=100/120=10/12=5/6 ist.
[Taschenrechner oder Formel: P(X=k)=(n über k) * p^k * (1-p)^(n-k)]

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ad d) Das kannst du mit der Hypergeometrischen Verteilung berechnen - die Formel findest du in deinem Buch, Formelheft oder Internet.

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