Wahrscheinlichkeitsrechnung - wie löse ich folgende Aufgabe?

2 Antworten

Habe ich die Aufgabe richtig verstanden - du überprüfst alle 16 Personen? Ich nehme in meiner Antwort an, dass jede Person zufällig eine  Zahl zwischen 1 und 13 bekommt und beliebig viele  Zahlen doppelt oder gar dreifach vorkommen können, dass also die Zettel vollkommen unabhängig voneinander eine Zahl zwischen 1 und 13 sein können.

Und wenn man sagt: "Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person eine Zahl zwischen 1 und 4 hat?" -> diese Frage ist mehrdeutig. Meint man damit 1) Dass genau eine und keine einzige andere Person eine Zahl zwischen 1 und 4 hat? oder meint man 2) dass mindestens 1 Person eine Zahl zwischen 1 und 4 hat (d.h. es könnten auch mehrere Personen eine Zahl zwischen 1 und 4 haben)?

Kurze Antwort: Die richtige Formel ist die Formel der Bernoulli-Kette.

Lange Antwort (die keine Kenntnis zur Bernoulli-Kette voraussetzt):

Möglichkeit 1:

1) Im ersten Fall wäre ja für die eine Person die Wahrscheinlichkeit 4/13 und für alle anderen Personen 9/13. Und wenn du die Wahrscheinlichkeiten alle multiplizierst, hast du die Wahrscheinlichkeit, dass gleichzeitig die erste Person eine Zahl zwischen 1-4 hat und alle anderen eine andere Zahl (nicht zwischen 1 - 4) haben.

Also 4/13 * 9/13 * 9/13 usw. also 4/13*(9/13)^15.

Was du dann aber bedenken musst, ist, dass das die Wahrscheinlichkeit ist, dass die erste Person eine Zahl zwischen 1-4 hat und alle anderen eine zwischen 5 und 13. Aber es könnte ja auch die zweite Person diejenige sein, die die Zahl zwischen 1-4 hat. Oder die 3. oder die 4. usw. 

Also musst du das ganze noch mit 13 multiplizieren (weil es 13 unterschiedliche Möglichkeiten gibt, die alle die Wahrshceinlichkeit 4/13*(9/13)^14 haben. Also:

P( eine Person hat eine Zahl zwischen 1 - 4 und alle anderen haben eine Zahl zwischen 5 -13) = 13 * 4/13 * (9/13)^15


Möglichkeit 2:

2) Wenn damit gemeint ist, dass mindestens 1 Person eine Zahl zwischen 1-4 hat, dann gibt es ja mehrere Möglichkeiten: es kann 1 Person eine Zahl zwischen 1-4 haben, oder 2, oder 3, oder 4 usw. oder sogar 16 (und alles zwischen 4 und 15 geht auch). Die Formulierung "mindestens 1 Person" schließt also sehr viele Möglichkeiten ein.

Bei Formulierungen, die so viele Möglichkeiten einschließen, sollte man sich immer fragen: Ist es vielleicht einfacher, die Komplementärwahrscheinlichkeit auszurechnen und die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu berechnen, indem man die Komplementärwahrscheinlichkeit von 1 abzieht? Das kann man deswegen machen, eil ja P (Ereignis) + P (Komplementärereignis) = 1 sein muss.

Und daraus folgt: P (Ereignis) = 1 - P (Komplementärereignis).

Das Komplementärereignis zu "mindestens 1 Person hat eine  Zahl zwischen 1-4" ist: Keine einzige Person hat eine Zahl zwischen 1 und 4. Und das ist ja nur 1 Möglichkeit. Und die Wahrscheinlichkeit, dass keine einzige eine Zahl zwischen 1 und 4 hat, lässt sich sehr leicht berechnen:

P (keine einzige Person) = 9/13*9/13*9/13 usw. also: (9/13)^16

Das ist die Wahrscheinlichkeit des Komplementärerieignisses.

Und jetzt rechnen wir P (mindestens 1 Person) aus, indem wir P (keine einzige Person) von 1 abziehen. Also:

P (mindestens 1 Person) = 1 - P (keine einzige Person) = 1 - (9/13)^16


Danke für die ausführliche Antwort und deine Mühe!!! Also, ich bin  nicht unbedingt schlecht in Mathe, aber das erscheint mir doch etwas zu kompliziert...da muss ich mich erstmal reinarbeiten.

Also...jede Person hat einen Zettel und jede Zahl kann beliebig oft vorkommen oder gar nicht vorkommen.

Vielleicht wäre es besser, man würde das umdenken und sich vorstellen, jede Person wäre ein Würfel.

Dann würde es 16 Würfel geben mit  4 blauen Flächen und 9 roten Flächen.

Dann würde die Frage lauten: 
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich einmal würfle und dann ausschließlich rote Flächen da sind?

(Also dass keine der 16 Personen einen Zettel mit einer Ziffer von 1-4 hat..)

Also wahrscheinlich ist das das was du mit Komplementärwahrscheinlichkeit meintest.

Keine einzige Person wäre dann (9/13)^16 = 0,0027

was mache ich jetzt mit dem Ergebnis? Mit hundert multiplizieren, sind das dann 2,7 Prozent? Erscheint mir nicht richtig.

1 - (9/13)^16 wären 0,9972.. 

Ich hatte mir das eigentlich so vorgestellt, dass am Ende dann 100 herauskommt...

Also, die Wahrscheinlichkeit, dass keiner eine Zahl von 1-4 hat ist A Prozent

und die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer die Zahl von 1-4 hat, ist B Prozent 

und A + B sind dann 100...

Tut mir Leid, dass ich mir so blöd anstelle! 


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@Racheal8989

Ah okay, jetzt macht es Sinn...0,0027 plus 0,9972 sind ja 1...das finde ich aber etwas seltsam, ich hätte ehrlich gesagt gedacht, dass die Wahrscheinlichkeit, dass keiner eine Zahl zwischen 1 bis 4 hat, viel höher ist... ich hätte auf 30 % getippt... 

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@Racheal8989

Ja genau, 0.0028 + 0.9972 ist = 1.
Du kannst Wahrscheinlichkeiten immer als Dezimalzahl darstellen von 1, oder eben als Prozentzahl.

Das ist schon richtig, dass die Wahrscheinlichkeit gerade mal gerundet 0.0028, also 0.28  % ist. Denn es ist ja so, als würdest du ein Zufallsexperiment 16 Mal durchführen. Und bei jedem Durchgang hättest du fast ein Drittel Chance, dass jemand eine Zahl zwischen 1-4 hat (4/13 = 0.3077 gerundet, d.h. 30.77 %).

Das heißt am Ende sollte schon in etwa ein Drittel der 16 Leute etwas zwischen 1-4 haben, also ca. 5 bis 6 Leute. Das jetzt wirklich niemand eine Zahl zwischen 1-4 hat, obwohl in jedem der 16 Durchgänge die 30%ige Chance dazu besteht, ist wirklich sehr unwahrscheinlich.

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Hallo,

wenn es nur Zahlen von 1-13 gibt, reichen entweder die Zettel nicht für 16 Personen oder drei Zahlen sind doppelt vertreten.

Wenn Du nicht weißt, welche Zahlen dies sind, kannst Du die Aufgabe nicht berechnen. Schließlich ist es ein Unterschied, ob unter den 16 Personen die 1 nur einmal oder zweimal ausgeteilt wird oder ob die Zahlen von 1 bis 13 willkürlich auf sechzehn Zetteln erscheinen, es also sein kann, daß keine 5 und 7 dabei ist, dafür aber mehrmals die 11 auftaucht oder ob auf jedem Zettel die 8 steht.

Herzliche Grüße,

Willy

Die einzige Möglichkeit, die Aufgabe mit vorliegenden Angaben und unter der Annahme, daß es 13 Zettel mit 13 unterschiedlichen Zahlen von 1 bis 13 gibt, zu lösen, ist die, daß halt nicht jede Person einen Zettel bekommt.

Dann ist die Wahrscheinlichkeit, daß eine Person einen der Zettel von 1 bis 4 bekommt, 4/16=0,25 oder 25 %, denn es gibt nur vier dieser Zettel für 16 Personen (die anderen Zettel kannst Du in die Tonne kloppen, denn ob jemand einen Zettel mit einer falschen Nummer oder überhaupt keinen bekommt, ist in diesem Fall völlig egal).

Willy

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Danke für deine Antwort. Ich habe oben nochmal ausführlicher die Aufgabenstellung beschrieben. Es gibt 16 Zettel und jede Zahl zwischen 1 und 13 kann 0-16 Mal vorkommen, welche das sind, weiß man nicht, das ist Zufall.

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@Racheal8989

Dann hängt es davon ab, ob jeder Zettel mit gleicher Wahrscheinlichkeit mit einer der 13 Zahlen beschrieben wird, ob also bei jedem Zettel eine Art Glücksrad mit 13 gleich großen Feldern gedreht wird, oder ob es nach einem anderen Prinzip geht.

Im Fall eines Glücksrades entspricht jeder Zettel einem einmaligen Drehen daran.

Die Zahlen 1 bis 4 nehmen dann 4/13 der Felder ein und genau dies ist auch die Chance jedes Einzelnen, eine dieser Zahlen auf seinem Zettel zu finden.

Herzliche Grüße,

Willy

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@Willy1729

Wenn Du meinst, daß genau eine Person eine dieser vier Zahlen findet, rechnest Du über die Binomialverteilung:

(16 über 1)*(4/13)*(9/13)^15.

Die 16 über 1=16 deswegen, weil zwar nur eine Person einen solchen Zettel haben soll, es aber egal ist, um welche von diesen 16 es sich handelt.

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa 1,98 %

Herzliche Grüße,

Willy

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