Wahrscheinlichkeit mit 3 Würfeln, wovon nur 2 zählen?

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4 Antworten

Hallo,

eine 10 oder höher schaffst Du mit zwei Würfeln nur, wenn sie die Kombinationen 4-6, 5-5, 5-6 oder 6-6 haben, wobei die Kombinationen 4-6 und 5-6 auch vertauscht sein können, sie also doppelt gezählt werden.

Auch wenn die Würfel zeitgleich geworfen werden und es eigentlich nicht auf die Reihenfolge ankommt, kommen einige Kombinationen doch häufiger vor als andere. Eine 1-1-1 etwa gibt es nur einmal, eine 1-2-3 dagegen sechsmal, weil die Zahlen auf 3! gleich 6 verschiedene Arten auf die drei Würfel verteilt sein können. Diese unterschiedlichen Häufigkeiten müssen also berücksichtigt werden.

Insgesamt sind 6^3=216 unterschiedliche Kombinationen möglich, von 1-1-1 bis 6-6-6.

Sechs Zweierkombinationen ergeben eine Augensumme von 10 und mehr.

Diese sechs können jeweils auf drei verschiedene Arten mit einem dritten Würfel kombiniert sein.

Bei 4-6 etwa kann der dritte Würfel an Stelle 1, 2 oder 3 liegen, also 

x-4-6, 4-x-6 oder 4-6-x

So kannst Du jede dieser sechs Kombinationen schon mal mit 3 multiplizieren.

Bei den Kombinationen 4-6 und 6-4 darf der dritte Würfel nicht höher als 4 zeigen, weil er sonst selbst die Rolle eines der beiden höchsten Würfel übernimmt. Es gibt demnach 2*3*4=24 Kombinationen mit den Augen 4 und 6 bzw. 6 und 4.

Bei der Kombination 5-5 darf die dritte Zahl auch eine 5 sein.

Also 3*5=15 Möglichkeiten

Bei 5-6 bzw 6-5 darf sie ebenfalls 5 zeigen, also 2*3*5=30, bei 6-6 darf es auch noch eine dritte 6 haben:

1*3*6=18

24+15+30+18=87

87 von 216 Kombinationen ergibt eine Wahrscheinlichkeit von 87/216=29/72

Herzliche Grüße,

Willy

Von allen 216 Möglichkeiten sind nur die günstig, die die oben genannten Bedingungen erfüllen... also müssen zwei Würfel entweder die 5 oder die 6 haben... schreibe alle möglichen Kombinationen raus und teile die Anzahl durch 216

Wie man das kombinatorisch lösen würde, würde mich übrigens auch gerne interessieren. Wäre nett, wenn ein Matheexperte das in einen Kommentar verpacken könnte ;)

ich kenne nämlich nur die Produktregel und die 4 Grundfiguren z.B ungeordnet mit Zurücklegen etc.  aber ich glaube, damit kommt man hier rechnerisch nicht so weit

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Zwei Würfel werden gezählt.

Zunächst einmal überlegt man sich, was die beiden höchsten Würfel anzeigen müssen.

10 erreicht man mit    6 und 4    oder    mit   5 und 5

11 erreicht man mit    6 und 5   

12 erreicht man mit    6 und 6

Es gibt 6^3 = 216 mögliche Ergebnistripel der Form:

(1.Würfel; 2.Würfel; 3.Würfel)

Ich zeige dir hier, wie man beispielsweise dann die Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 11 oder höher ausrechnet. Wichtig ist dabei, dass keine Ergebnistripel doppelt gezählt werden.

12:    (6,6,6);

         (6,6,5); (6;6;4); (6;6;3); (6;6;2); (6;6;1)

         (1;6;6); (2;6;6); (3;6;6); (4;6;6); (5;6;6)

         (6;1;6); (6;2;6); (6;3;6); (6;4;6); (6;5;6)

         16 Ergebnistripel sind passend zur Augensumme 12

11:     (6;5;1); (6;5;2); (6;5;3);(6;5;4); (6;5;5);    nicht: (6;5;6) siehe oben

          (6;1;5); (6;2;5); (6;3;5); (6;4;5)

          (5;6;1); (5;6;2);(5;6;3); (5;6;4); (5;6;5)     nicht: (5;6;6) siehe oben

          (5;1;6); (5;2;6); (5;3;6);(5;4;6); (5;5;6)

          19 neue Ergebnistripel sind passend zur Augensumme 11

16+19 = 35 Ergebnistripel der 216 passen

P(Summe 11 oder 12) = 35/216 = 16,2%

3 Würfel = (6*6*6) = 216 Möglichkeiten: 

6+6+6.5.4.3.2.1

6+5+5.4.3.2.1

6+4+4.3.2.1

6+3+3.2.1

5+5+5.4.3.2.1

5+4+4.3.2.1

5+3+3.2

4+4+4.3.2

4+3+3

Glaube das sind alle = 33

also 33/216 = 15%

Es zählen nur die beiden jeweils höchsten, nicht alle 3.

Herzliche Grüße,

Willy

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