Wahrscheinlichkeit beim Würfeln alle Ergebnisse mit 8 mal würfeln?
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei achtmaligen Würfeln alle Ergebnisse einmal zu bekommen?
Ich hätte gesagt 6/65/64/63/62/61/6 (8 über 6)
Ist das richtig oder mache ich hier etwas falsch?
4 Antworten
Leider sind meines Erachtens alle vorherigen Antworten falsch. Eine mathematische Herleitung des Lösungsweg habe ich zwar nicht, aber eine exakte numerische:
Lösung 1: Die Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Zahlenfolge zu bekommen ist für alle Folgen gleich: 1/(6^8). Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle Zahlen vorkommen P(1&2&3&4&5&6)=n/N. Dabei ist n die Anzahl an Zahlenfolgen die das Kriterium erfüllen und N die Gesamtanzahl an Zahlenfolgen. N ist einfach zu berechnen: N=6^8. n ist schon schwieriger. Ich habe dazu folgenden Code benutzt:
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int main(){
int max=6*6*6*6*6*6*6*6;//Anzahl verschiedener Folgen
int count =0;//Zählt Folgen die Krit. erfüllen
int temp;
bool dice[6];//Wurde Zahl gewürfet?
for(int i=0; i<max; i++){//gehe alle Folgen durch
temp=i;
for(int j=0;j<8;j++){//Setze alle gew. Zahlen auf true
dice[temp%6]=true;
temp=temp/6;
}
//Zählt folgen die Krit. erfüllen
if(dice[0]&&dice[1]&&dice[2]&&dice[3]&&dice[4]&&dice[5]){
count++;
}
for(int j=0;j<6;j++){//setzt gew. Zahlen zurück
dice[j]=false;
}
}
cout<<"Ergebnis: "<<count<<endl;//gibt Ergebnis aus
return(0);
}
Ergebnis: 191520
Also ist P(1&2&3&4&5&6)=191520/1679616~0.114=11.4%
Die Wahrscheinlichkeit bei achtmaligem Würfeln alle Ergebnisse einmal zu bekommen ist ungefähr 11.4%.
Habe ich inzwischen auch mathematisch herausbekommen.
Der errechnete Wert liegt bei 0,1140260631.
Willy
Bei 6 mal Würfeln verschiedene Ergebnisse zu bekommen, in diesem Fall gibt es 6 * 5 * 4 * 3 * 2 Möglichkeiten.
Für die beiden weiteren Würfe gibt es 36 Möglichkeiten. Diese beiden Würfe kann man beliebig in die insgesamt 8 Würfe einstreuen. Für diese Einstreuung gibt es (8 über 2) = 28 Permutationen.
Insgesamt also 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 36 * 28 = 725760 von insgesamt 6^8 = 1679616 Möglichkeiten. Das macht eine Wahrscheinlichkeit von ~ 0,4321.
Hallo,
ich habe einen anderen Ansatz gefunden.
Im Grunde handelt es sich um eine Ziehung mit Wiederholung ohne Beachtung der Reihenfolge.
Es ist genauso, als würdest Du 8 Bonbons an 6 Kinder verteilen.
Die 6 Kinder sind hier die 6 unterschiedlichen Augenzahlen, die 8 Bonbons die einzelnen Würfe.
Du ordnest also jedem Wurf irgendeine Augenzahl zu.
Natürlich kann bei jedem Wurf die gleiche Zahl fallen.
Hier interessieren aber nur die Verteilungen, bei denen jede Augenzahl fällt bei den 8 Würfen.
Davon gibt es nur 2, nämlich 3-1-1-1-1-1 und 2-2-1-1-1-1, Du brauchst also entweder einen Dreier und fünf einzelne Zahlen oder zwei Pärchen und vier einzelne Zahlen.
Der Dreier kann aus einer von 6 Zahlen bestehen und sich auf 8 über 3 gleich 56 unterschiedliche Arten unter den 8 Würfen verteilen.
Die 5 einzelnen Zahlen können ihre Position auf 5! gleich 120 unterschiedliche Arten untereinander vertauschen.
So kommst Du auf 6*56*120=40320 unterschiedliche Variationen für einen Dreier und 5 einzelne Zahlen.
Bei den zwei Pärchen gibt es 6 über 4 gleich 15 unterschiedliche Möglichkeiten, wie sich die 4 einzelnen Zahlen unter den 8 Würfen verteilen können. Da die beiden Pärchen untereinander den Platz tauschen können, kommst Du auf 2*15=30 Arten.
Die beiden Pärchen können auf 15 unterschiedliche Arten zusammengesetzt sein: 1+2; 1+3; 1+4 usw.
Die 4 einzelnen Zahlen können auf 4! gleich 24 Arten ihre Plätze tauschen.
So kommst Du noch einmal auf 30*15*24=10800 Variationen.
Zusammen mit den 40320 von vorhin ergibt das 51120.
Insgesamt gibt es 6^8=1679616 mögliche Ergebnisse bei achtmaligem Würfeln.
51120/1679616=0,03, also 3 %.
Herzliche Grüße,
Willy
Es sind 8 über 4 Möglichkeiten für die vier einzelnen Zahlen, nicht 6 über 4, weil die Pärchen ja ruhig auseinandergerissen werden dürfen.
8 über 4 gleich 70 mal 2=140
140*15*24=50400
50400+40320=90720
90720/6^8=0,054 oder 5,4 %
Willy
Ein Auswürfeln meinerseits ergab eine Trefferquote von etwa 14 %.
Man muß also wohl noch einen anderen Ansatz wählen.
Man muß den Ansatz variieren:
Bei einem Dreier kommst Du auf 8!/3!=6720 unterschiedliche Anordnungen. Da es Dreier mit 6 möglichen Zahlen geben kann, kommst Du auf 6*6720=40320
Bei den Pärchen sind es 8!/(2!*2!)=10080
Bei 15 unterschiedlichen Kombinationen von Pärchen sind das
15*10080=151200
Macht zusammen 191520.
191520/6^8=0,114 oder 11,4 %, was gut mit den empirischen Werten übereinstimmt.
Hallo,
Du meinst (6!/6^6)*(8 über 6).
Das wäre auch mein Ansatz.
Du gehst erst einmal von 6 Würfeln aus, die alle unterschiedliche Augenzahlen haben müssen.
Wahrscheinlichkeit also 6/6*5/6*...*1/6 oder 6!/6^6.
Würfel Nr. 7 und 8 können zeigen, was sie wollen, Wahrscheinlichkeit hierfür also 1; was nichts ändert.
Allerdings können sich die Würfel 1 bis 6 auf (8 über 6) gleich 28 unterschiedliche Arten unter den acht Würfeln verteilen, was die Wahrscheinlichkeit für sechs unterschiedliche Augenzahlen um das 28-fache erhöht.
So kommst Du auf beachtliche 43,2 %.
Herzliche Grüße,
Willy
Mag cool sein, ist aber falsch.
Rechne das mal mit 9 Würfeln, also mit 9 über 6.
Dann kommst Du auf eine Wahrscheinlichkeit von über 100 % - und das ist unmöglich.
Ich denke weiter darüber nach.
Willy
6 * 5 * 4 * 3 * 2 * (6*6*6) * (9 über 3) = 6531840
von insgesamt 6^9 = 10077696
macht p ~ 0,648
Ergebnis ist leider falsch, siehe meine Antwort und meine Kommentare bei den anderen Antworten.
Das Ergebnis stimmt leider nicht, da einige Möglichkeiten mehrfach gezählt werden. Bsp.: 66554321 würde bei dir viermal gezählt werden. ¹6²5³4⁴3⁵2⁶1⁷, Es macht z.B. keinen Unterschied ob ich eine 6 an ¹ oder ² einfüge, dass Ergebnis ist 6654321.