Wachstumsfunktionen….:/

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3 Antworten

Jeder hat so seine Formel, was die Buchstaben angeht. Ich versuche es, mal praktisch zu machen. Ich frage mich aber, wie lange du die Schule versäumt haben musst, bevor du dein Abitur machst, um das alles zu verpassen.

Wachstumsformel:
y = c * a^x

c = Anfangswert
a = Wachstumsfaktor
x = Anzahl der Perioden
y = Endwert

Wahrscheinlich geht es dir nur um die Aufstellung.
Hier also ein Beispiel:
Eine Beet hat am Anfang 4 m² Fläche (c). Die Fläche verdreifacht sich jede Woche (a), und zwar 8 Wochen lang (x).

Dann ist die Größe nach dieser Zeit:
y = 4 * 3 ^ 8

Wenn sich die Fläche halbiert, ist a = 1/2 usw.

Aufpassen musst du bei prozentualem Wachstum (z.B. Geld - Verzinseszinsung).
Da ist der Wachstumsfakor a = 1 + p/100.
p ist der Prozentsatz.
Im Zehnersystem muss man das erklären. Es ist ganz einfach:
12 % heißt: a = 1,12
4 % heißt a = 1,04

Und wenn das Wachstum sich vermindert, musst du p von 1 abziehen:
8 % heißt a = 0,92

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Es kommt sehr darauf an, was du gegeben hast. Ich gebe im Folgenden ein recht allgemeines Verfahren an. Die Bezeichnungen weichen von Dentrassis Bezeichnungen ab. *** Gesucht seien die Parameter a, B, c einer Exponentialfunktion

y = a * B^x +c (wobei B = e^b)

Wenn (wie häufig) c = 0 ist, gibt es einfachere Verfahren. - Hier sei über c nichts bekannt, die Werte f(0), f(d) , f(2d), f(3d) seien gegeben . Dabei ist der Abstand d der x-Werte frei wählbar.

Dann lassen sich die Parameter a, B, c bestimmen, indem du zunächst folgende Differenzen berechnest:

P = f(d) - f(0)

Q = f(2d) - f(0)

R = f(3d) - f(0)


Herleitung der Formel für B:

P = a * B^d +c - (a * 1 +c) = a * B^d - a

Q = a * B^(2d) - a

R = a * B^(3d) - a

. . .

Q - P = a * B^d * (B^d - 1)

R - Q = a * B^(2d) * (B^d -1)

(R - Q) / (Q - P) = B^(2d) / B^d = B^d;

B = ( (R - Q) / ( Q - P ) ) ^(1/d)


Herleitung der Formeln für die anderen Parameter:

a = P / (B^d -1) =

P / ( (R - Q) / (Q - P) -1 ) =

P / ( (R - 2Q +P) / (Q - P) );

a = (PQ -P²) / ( R -2Q +P)

c = a - f(0)

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Du brauchst:

  • Grundwert G (der bei t=0 herrscht)

  • Zeit t

  • Wachstumsfaktor x (>1, wenn zunehmend; <1, wenn abnehmend)

--> W(t) = G • x^t

(Wert / Menge zur Zeit t.)

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Kommentar von psychironiker
08.06.2014, 12:00

NEIN: Wachstumsfunktionen sind Exponentialfunktionen, und für die Basis (hier: "x") einer Exponentialfunktion gilt definitionsgemäß

1 ≠ x > 0

Ein abnehmendes Wachstum (z.B. ein radioaktiver Zerfall) wird bei einer Bezeichnung der Variablen wiei bei Dentrassi mit Funktionen

W(t) = G * x^(-t)

beschrieben

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