Vorgehensweise--> Wie untersuche ich eine Funktion auf Monotonie? TIPPS :O

3 Antworten

Die Parabel hat einen Bereich, in dem die Funktionswerte (von links kommend) immer kleiner werden, bis zu einem bestimmten Punkt und ab da steigt die Funktion wieder an.

Du weißt sicher wie dieser bestimmte Punkt genannt wird. Durch diesen Punkt verläuft die Grenze zwischen monoton fallend und monoton steigend.

Das Ganze unter der Voraussetzung, dass die quadratische Parabel kein negatives Vorzeichen vor dem x² hat, also nach oben geöffnet ist. Wenn sie nach unten geöffnet ist, ist sie links vom S...punkt monoton steigend und rechts davon fallend.

also ist links vom scheitelpunkt immer montoton steigend und recht motonfallend ausser vor dem x steht ein minus und die parabel verläuft nach unten?

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also du hast den Grafen vor dir eingezeichnet, jetzt musste den halt in bestimmte abschnite unterteilen, wegen streng monoton fallend und steigend

Es ist eine Parabel... wie soll ich es denn da unterteilen? :O aber DANKE

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Du untersuchst am besten nach Definition. Dazu brauchst du erst einmal die Definition. Folgendes schrieb ich nirgendwo ab, sonder aus dem Kopf nieder.

Denn für deine Prüfung hilft es auch dir nichts, wenn es schön in der Wikipedia steht.


Eine Funktion f: x → f(x) heißt monoton steigend im Intervall [a; b], wenn für a ≤ x0, x1 ≤ b gilt:

Aus x1 > x0 folgt f(x1) ≥ f(x0).


Eine Funktion f: x → f(x) heißt streng monoton steigend im Intervall [a; b], wenn für a ≤ x0, x1 ≤ b gilt:

Aus x1 > x0 folgt f(x1) > f(x0).


Eine Funktion f: x → f(x) heißt monoton fallend im Intervall [a; b], wenn für a ≤ x0, x1 ≤ b gilt:

Aus x1 > x0 folgt f(x1) ≤ f(x0).


Eine Funktion f: x → f(x) heißt streng monoton fallend im Intervall [a; b], wenn für a ≤ x0, x1 ≤ b gilt:

Aus x1 > x0 folgt f(x1) < f(x0).


Das Ganze geht auch für nicht abgeschlossene Intervalle. Dann sind die Definitionen im Wortlaut genauso bis auf:

(...) im Intervall [a; b[ , wenn für a ≤ x0, x1< b gilt: (...)

(...) im Intervall ]a; b] , wenn für a < x0, x1 ≤ b gilt: (...)

(...) im Intervall ]a; b[ , wenn für a < x0, x1< b gilt: (...)


B. Rechnung:

Voraussetzung:

Die Parabel

f: → f(x) = a(x -d)² + e , a > 0

Bemerkung: Wegen a > 0 ist f nach oben geöffnet . f ist in der Scheitelform angegeben und hat den Scheitel (d | e).

Behauptung:

f ist streng monoton fallend im Intervall ]-∞; d]

Beweis:

Da für alle reellen x gilt: x > -∞, musst du nur die Bedingung x ≤ d berücksichtigen.

Aus der Voraussetzung folgt für x0 < x1:

x0 < x1 < d; | -d

x0-d < x1 -d < 0; |²;

Multiplikation mit einer negativen Zahl dreht das Ungleichheitszeichen um, und sowohl x0 -d als auch x1 -d sind negative Zahlen (weil < 0)

(x0-d)² > (x1 -d)² ; | +e

(x0-d)² +e > (x1 -d)² +e

f(x0) > f(x1), q.e.d.


Entsprechend kannst du zeigen, dass diese Parabel im Intervall [d, ∞[ streng monoton steigt.

TIPP: Es ist meist einfacher, die beweisenden Umformungen "von unten nach oben" zu erstellen. So machte ich es auch, d.h. ich vereinfachte die Ungleichung

(x0-d)² +e > (x1 -d)² +e,

bis ich bei

x0 < x1

ankam. Die Schlussfolgerung ist aber trotzdem so herum wie angegeben, denn so ist die Monotonie definiert (was folgt woraus?).

OOOHHHH Dankeschön :D

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