Von was ist das die Ableitung?

4 Antworten

Original:

 Ich würde jetzt die Wurzel erstmal auseinandernehmen:



Dann würde ich die Wurzel als eine Potenz darstellen:

 und abschließend die Kehrsumme auflösen, indem der Exponent des Nenners negiert wird:

 Das führt dann dazu, dass die Funktion in einem Format vorliegt, was du selbst schon von Ableitungen kennst:

 Bei einer gewöhnlichen Ableitung geht man ja so vor, dass man erstmal den Faktor mit dem Exponenten multipliziert und dann den Exponenten um 1 verringert. Beim integrieren passiert das gleiche rückwärts. Du erhöhst erst den Exponenten um eins und teilst dann den Faktor durch den Exponenten:

 Das kannst du, wenn du magst, wieder zu einer Wurzel ändern und natürlich nicht vergessen, das obligatorische "+ C" anzufügen.



Integration durch Substitution (ersetzen)

Formel F(x)=Integal(f(z)*dz*1/z´

f´(x)=1/Wurzel(4*x)=1/(4*x)^1/2=(4*x)^(-0,5) siehe Mathe-Formelbuch "Wurzelgesetze" und "Potenzgesetze"

Wurzel(a)=a^1/2=a^0,5 1/a^n=a^(-1*n)=a^(-n) oder a^n=1/a^(-n)

Substitution z=4*x abgeleitet z´=dz/dx=4 ergibt dx=dz*1/4

F(x)=integral(z^(-0,5)*dz*1/4) konstante können vor das Integralzeichen gezogen werden

F(x)=1/4*integral(z^(-0,5)*dz)=1/4*(z^0,5)*1/(-0,5+1)+C

F(x)=1/(4*(-0,5))*z^0,5+C

Hinweis:Die Integration durch die Substitution funktioniert nur,wenn die Ableitung z´=dz/dx=konstant ist oder wenn sich das übriggebliebe x sich aufhebt.

Die Konstante kann dann vor das Integralzeichen gezogen werden.

F(x)=-1/2*Wurzel(4*x)+C

Wenn ihr den Hauptsatz noch nicht gelernt habt bzw. nicht wisst, dass Integratilon und Differentiation (Ableitung) sich aufheben wie Addition und Subtraktion, musst du probieren.

Da es mit Wurzeln zu tun hat, leitest du doch am besten mal ab (versuchsweise):

f(x)  = √x = x^(1/2)

f'(x) = 1/2 x^(-1/2) | Umschreiben in Wurzelschreibweise
      = 1 / 2√x      | 2 in die Wurzel hineinnehmen
      = 1 / √(4x)

Heureka! Das war es schon.
f(x)  = √x

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