Von normaler Funktion f(x) auf Stammfunktion F(x) kommen mit kettenregel?

3 Antworten

Hallo,

so etwas löst man meist durch Substitution.

In diesem Fall setzt Du 2x-4=z

Zum Ausgleich für diese Substitution teilst Du f(z) durch die Ableitung von 2x-4, also durch 2. Da in der Ableitung kein x mehr vorkommt, paßt alles:

f(z)=48*(1/2)z^(-3)

F(z)=-2*48*(1/2)*z^(-2)=-12z^(-2)

Nun kannst Du z wieder durch 2x-4 ersetzen:

F(x)=-12*(2x-4)^(-2)+C

leitest Du das nach der Kettenregel ab, kommst Du wieder auf
(-2)*(-12)*(2x-4)^(-3)*2=48*(2x-4)^(-3)

Die Umkehrung der Kettenregel also spiegelt sich in der Division durch die Ableitung des substituierten Terms wieder.

Das Schwierige an der Substitution ist, daß man sie so wählen muß, daß die alte Variable in der neuen Funktion restlos verschwunden ist, daß also in f(z) kein x mehr vorkommt. Das ist manchmal gar nicht möglich, manchmal nur durch viel Erfahrung, Intuition oder Probieren zu erreichen.

Herzliche Grüße,

Willy

Formel ist Integral(f(x)*dx=Int(f(z)*dz*1/z´

Die Integration durch Substitution gelingt nur,wenn z´=dz/dx=konstant ist-konstante können vor das Integralzeichen gezogen werden- oder wenn sich das übriggebliebene x herauskürzt.

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Wenn es um die Integration geht,dann musst du dich streng an die "Integrationsregeln" halten,dat is genau so,wie mit de "Bibel".

Integration durch "Substitution"

Formel Integral(f(x)*dx=Integral(f(z)*dz*1/z´ wobei z´=konstant ist (meistens)

Konstante können vor das Integralzeichengeogen werden 1/z´=konstant

bei dir F(x)=int.(48*(2*x-4)^-3*dx Substitution z=2*x-4 z´=dz/dx=2 ergibt

dx=dz/2 eingesetzt

Int.(48*z^(-3)*dz/2)=48/2*Int.z^(-3)*dz) nun Grundintegral anwenden

Int.(x^k*dx=x^(k+1)/(k+1)

also F(x)=48/2*(-1/2*z^(-2)+C Rücksubstitution

F(x)=-12*(2*x-4)^(-2)+C

HINWEIS: Die Integration durch die "Substitution" gelingt nur,wenn die Ableitung z´=dz/dx=konstant ist oder sich das übriggebliebene x herauskürzt.

Ist z´=dz/dx=konstant kann dies vor das Integralzeichengezogen werden.

Beispiel : Herauskürzen von x

Integral(x*e^(x^2)*dx Substitution z=x^2 ergibt z´=dz/dx=2*x  ergibt

dx=dz/(2*x) eingesetzt

F(x)= Int.(x*e^z*dz/(2*x)=1/2*Integral(e^z*dz)=1/2*e^z+C=1/2*e^(x^2)+C

Hier hat sich das übriggebliebene x herausgekürzt also x*1//2*x)=1/2

die Konstante 1/2 kann man dann vor das Integralzeichen ziehen. 

Die Kettenregel anwenden kann man nur (ohne weiteres), wenn die innere Ableitung eine Konstante ist, also kein x enthält.

Dein Beispiel hat damit nichts zu tun. Diesen Term brauchst Du nur erst einmal vereinfachen:
48(2x^(-4))^(-3)=48(2^(-3) * x^(-4)^(-3)) = 48/8x^12=6x^12
Das geht nun einfach zu integrieren.

Hast Du sowas wie f(x)=sin(3x) dann wäre die innere Ableitung 3; beim Integrieren nimmst Du den Kehrwert davon, also 1/3, somit ergibt das integriert: F(x)=-cos(3x)/3

Ausführlich würde man das über die Substitution machen, indem Du die "innere Funktion" substituierst:
u=3x: u'=du/dx=3 => dx=1/3du
Das jetzt einsetzen in F(x)=Int(sin(3x)dx):
Int(sin(u) * 1/3 du = 1/3 * Int(sin(u)du) = 1/3 * (-cos(u))
re-substituieren: F(x)=-1/3 cos(3x)

ups; habe da in der Klammer ein Hoch -4 gesehen, wo keins ist; aber Willy hats ja richtig gemacht...

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Formel ist Integral(f(x)=Integral (f(z)*dz*1/z´

Die Integration durch die Substitution gelingt nur,wenn z´=dz/dx=konstant ist oder wenn sich das übriggebliebene x herauskürzt.

konstanten können vor das Integralzeichen gezogen werden.

Beispiel : Integral(x*e^(x^2)*dx ergibt z=x^2 und z´=dz/dx=2*x

dx=dz*1/(2*x) eingesetzt

Int.x*1/(2*x)*e^z*dz=1/2*Int.(e^z*dz)

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