volumen und oberfächen berechnung?

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3 Antworten

Also, bei aller Liebe.
Deine Pyramidenstücke habe genau die Standardnamen.
Bei Google "quadratische Pyramide" eingeben, und schon hast du alle Formeln genau mit diesen Buchstaben.

Ich gebe allerdings zu: ggf. hast du ein Problem, wenn du den Pythagoras vergessen hast. Denn du musst mit rechtwinkligen Dreiecken arbeiten.
Aber wenn du da Probleme hast, kannst du ja nochmal nachfragen.

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Das Volumen sollte kein großes Drama sein, V = 1/3 * G * h, also 1/3 * a² * h bei einer quadratischen Pyramide.

Mit den Angaben a und s:

s wird bei dir die Seitenkante sein, daraus kannst du aber folgendermaßen auf die Höhe schließen:

Die Strecke vom Mittelpunkt der Grundfläche zum unteren Punkt der Seitenkante bildet mit der Höhe und der Seitenkante ein rechtwinkliges Dreieck.

Erstere Strecke ist die Hälfte der Diagonale der Grundfläche; die Diagonale der Grundfläche kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden:

d = (a² + a²) = √(2a²) = √2√a² = a√2

Wenn a = 6cm, dann ist d = 6√2 cm lang.

Die Hälfte der Diagonale, die wir ja eigentlich suchen, ist damit d/2 = 3√2cm lang.

Also: Wir haben ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten d/2, h und s, wobei s die Hypotenuse ist.

Da wir d/2 und s kennen, können wir mit dem Satz des Pythagoras h berechnen:

(d/2)² + h² = s² ⇔ h = √(s² - (d/2)²)

Einsetzen:

h = √(s² - (d/2)²) = √((12cm)² - (3√2cm)²) = 3√14cm ≈ 11,22cm

Das Volumen lässt sich somit berechnen:

V = 1/3 * a² * h = 1/3 * (6cm)² * 3√14cm = 34√14cm³ ≈ 134,70cm³

Die Oberfläche ist da etwas tricky:

Der Flächeninhalt der Grundfläche ist einfach (a²), für den Flächeninhalt einer Seitenfläche müssen wir allerdings die Höhe des Dreiecks berechnen.

Das geht auch mit dem Satz des Pythagoras:

Die Höhe hₐ des Dreiecks bildet mit der Hälfte der Grundlinie und der Seitenkante ein rechtwinkliges Dreieck.

Hier kann ebenso der Satz des Pythagoras angewendet werden:

hₐ² + (a/2)² = s² ⇔ hₐ = √(s² - (a/2)²)

Jetzt noch einsetzen:

hₐ = √(s² - (a/2)²) = √((12cm)² - (6cm/2)²) = 3√15cm ≈ 11,62cm

Mit hₐ kannst du nun den Flächeninhalt einer Seitenfläche berechnen:

A = 1/2 * a * hₐ = 1/2 * 6cm * 3√15cm = 9√15cm² ≈ 34,86cm²

Diese gibt es vier Mal und zusammen mit der Grundfläche ergibt sich folgender Oberflächeninhalt:

O = 4 * A + a² = 4 * 9√15cm² + (6cm)² = (36 + 36√15)cm² ≈ 175,43cm²

Mit den Angaben a und h:

Das Volumen geht genauso wie oben, für den Oberflächeninhalt ist unser kleines "Problemkind" wieder hₐ, was wir nicht kennen.

Wir können uns aber wieder mit dem Satz des Pythagoras helfen:

Die Strecke vom Mittelpunkt zum unteren Punkt von hₐ bildet mit der Höhe der Pyramide und hₐ ein rechtwinkliges Dreieck.

Erstere Strecke ist a/2 lang, also können wir hₐ berechnen:

(a/2)² + h² = hₐ² ⇔ hₐ = √((a/2)² + h²)

Einsetzen:

hₐ = √((a/2)² + h²) = √((6cm/2)² + (24cm)²) = 3√65cm ≈ 24,19cm

Jetzt können wir den Oberflächeninhalt wieder wie oben berechnen:

O = 4 * A + a² = 4 * 1/2 * a * hₐ + a² = 4 * 1/2 * 6cm * 3√65cm + (6cm)²
    = (36 + 36√65)cm² ≈ 326,24cm²

Bei Fragen zu irgendwelchen Rechenschritten einfach kommentieren. :)

LG Willibergi

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