Vollständige Induktion finde nicht mal den Anfang?

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Hallo,

den Induktionsanfang bekommst Du, indem Du den kleinsten möglichen Wert für n einsetzt und prüfst, ob die Behauptung für diesen Wert stimmt.

Da n größer oder gleich 2 sein soll, setzt Du hier also die 2 ein:

2²>2+1, also 4>3 (w)

Nun zeigst Du daß diese Relation auch dann noch stimmt, wenn Du ein beliebiges n um 1 erhöhst, indem Du davon ausgehst, daß die Induktionsbehauptung stimmt.

(n+1)²>n+2

n²+2n+1>n+2

n²+n>1

Das stimmt sicher, denn das kleinste mögliche n ist 2 und damit ist das kleinste mögliche n² bereits größer als 1.

Dann ist n²+n erst recht größer als 1, da n hier eine natürliche Zahl ist, die mindestens den Wert 2 hat.

n²+n ist also niemals kleiner als 6 und damit immer größer als 1.

Du kannst auch die Induktionsbehauptung benutzen, was vielleicht noch sauberer ist:

n²+2n+1>n+2

Davon ausgehend, daß n²>n+1, kannst Du diesen Term aus der Gleichung herausziehen:

n²+2n+1>n+1+1

Zu n² auf der linken Seite wird 2n+1 addiert, während zu n+1 auf der rechten Seite 1 addiert wurde.

Es muß also gezeigt werden, daß, wenn n²>n+1 gilt: 2n+1>1, denn wenn auf der linken Seite ein höherer Wert addiert wird als auf der rechten, wird sich die Ungleichung niemals umkehren.

2n+1 ist auf jeden Fall um 2n größer als 1 - und 2n kann nicht kleiner als 4 werden.

Herzliche Grüße,

Willy

Es verwundert mich aber, das kein Summenzeichen benutzt wird. Ich habe im dazugehörigen Buch eine Aufgabe vorgerechnet bekommen. Aus der wurde ich nicht schlau. Daraufhin sah ich mir einige Videos dazu an. Aber in allen Videos sowie in dem Buch wird das Summenzeichen verwendet um es nachzuweißen.

Ich Poste mal zwei Videos hier hinnein um es verdeutlichen zu können.

https://www.youtube.com/watch?v=wbD35N4N4lI

und

https://www.youtube.com/watch?v=MD7U_vYaX58

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@Tomscher

(Ohne mir die Videos angeguckt zu haben)

Vermutlich wurde zur Einführung das Standardbeispiel

"Summe über i für i von 1 bis n" = n/(n+1)/2

genommen. Das heißt natürlich nicht, dass alle Induktionsbeweise ein Summenzeichen enthalten müssen. Eher die wenigsten ;-)

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@Schachpapa

Genau das Stimmt. Das beispiel ist dort gegeben. Und an diesem wollte ich mich auch zuerst versuchen. Scheiterte aber schon an dem Induktionsanfang.

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Vielen Dank für den Stern.

Willy

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Ich weiß nicht wie du darauf kommst, ein Summenzeichen in die Aussage einfügen zu wollen.

Du sollst zeigen, dass für alle n ∈ ℕ, n >= 2 gilt, dass n² > n +1.

Für den Induktionsanfang wählt man also n = 2, s.d.:

2² = 4 > 3 = 2 + 1.

Die Induktionsvorraussetzung ist, dass n² > n + 1 für ein beliebiges n ∈ ℕ, n >= 2 gilt.

Im Induktionsschritt ist dann zu zeigen, dass die Aussage auch für den Nachfolger gilt. Es ist also (n+1)² > (n + 1) + 1 zu zeigen.

Falls du noch Schwierigkeiten hast, gerne nochmal kommentieren.

Naja wie oben bereits erwähnt, habe ich in einem Buch eine vorgerechnete Aufgabe gehabt, sowie Videos gesehen zum Thema. Und überall wird das Summenzeichen verwendet um es zu beweißen. Daher gehe ich davon aus, das ich es auch so beweißen soll.

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@Tomscher

Du hast vermutlich Videos gesehen, in dem die Gaußsche Summenformel mit vollständiger Induktion bewiesen wurde.

Das hat nichts mit dieser Aufgabe zu tun, außer , dass beide Aussagen per vollständiger Induktion bewiesen werden.

In diesem Beweis brauchst du aber auf gar keinen Fall ein Summenzeichen.

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Stimmt, deine Konstellation ist falsch ;-)
Warum so kompliziert?

Für den Induktionsanfung nimmst du einfach den ersten Wert für n, also n=2 und zeigst, dass die Behauptung n² > n +1 für n=2 gilt:
Also prüfe, ob dies richtig ist: 2² > 2+1
Dann hast du deinen Induktionsanfang :-)

Nicht falsch verstehen, aber ich habe das Gefühl es anhand des Summensymbols nachweißen zu müssen. Zumindest stützt sich meiner Vermutung auf das Beispiel im Buch was ich bekam und den ganzen Videos die ich dazu sah.

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Induktionsanfang: Du zeigst, dass die Aussage für n=2 gilt. Da nimmst du n^2>n+1 und setzt für n eine 2 ein.

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