Vollständige Induktion – Hilfe?

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4 Antworten

9^n -1 mod 8 = 0

also 8 • m = 9^n - 1 also 9^n = 8m+1

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9^(n+1)-1 = (9^n • 9) -1

Induktionsschluss

=( (8m+1) • 9) - 1 = 72m + 9 - 1 = 72m + 8

= 8(9m + 1)

also 9m+1 = 9^(n+1)-1 durch 8 ohne Rest teilbar

??

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Du mussr ja nur zeigen, dass 9^(n+1)-1 durch 8 teilbar ist.

Den auadruck kann man auch als 9*9^n -1 schreiben und das ist

9*(9^n -1) +8

Der erste teil ist ein vielfaches von 9^n -1 und damit nach induktionsannahme durch 8 teilbar und der zweite teil ist natürlich auch durch 8 teilbar, womit der gesamtauadruck durch 8 teilbar ist und wir sind fertig ;)

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Du musst 9^n * 9 - 1 auf die Teilbarkeit durch 8 untersuchen und dabei voraussetzen, dass 9^n - 1 durch 8 teilbar ist.

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Kommentar von lillian92
03.03.2016, 21:24

Das sind Induktionsvoraussetzung und Induktionsbehauptung, soweit war ich schon^^°

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Am einfachsten machst Du Dir den Sachverhalt mal der Reihe nach klar :

9^1 = 9  = 8 + 1                     -->  mit 9 multipliziert : 9 * (8+1) = 72 + 9

9^2 = 81 = 10 * 8 + 1            --> mit 9 multipliziert : 9 * (80+1) = 720 + 9

9^3 = 729 = 91 * 8 + 1         --> mit 9 multipliziert : 9 * (728+1) = 6552 + 9

9^4 = 6561 = 820 * 8 + 1    -->   .......  = 9 * ( Vielfaches von 8 ) + 9

Und das , was Du hier gesehen hast, schreibst Du in der verlangten Notation, dass man vollständige Induktion erkennt.

Dabei kannst Du Dich an die Antwort von Ellejolka halten .

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