Vollständige Induktion -

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7 Antworten

kann es sein, dass diese Gleichung schon von dir stammt und die Aufgabe anders lautet?

weil normalerweise rechnet man bei der vollst. induktion die Annahme mit rein.

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dieser gleichung ist eine regelmäßigkeit zu entnehmen. nämlich immer 0.25 dann 0,5 dann wieder 0.25 ... etc... und die exponenten sind absteigend.. ^4 ^3 ^2 .... in den klammern links ist immer ein n+1, allderings rechts nur ein n dafür am ende ein (n+1)^3 .wobei das ^3 möglicherweise von m-1 kommt, falls m der höchste grad ist der polynome.

man kann dies als summenformel beschreiben und durch induktion (für sowas tut man induktion ja) eine bestätigung der regelmäßigkeit beweisen (hoff ich mal jedenfalls, kA obs klappt) für beliebig lange terme.

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Kommentar von isbowhten
04.10.2011, 22:45

nun ja so einfach funktioniert das doch wieder nicht, ich bekomm jedenfalls nichts raus, aber ich bin ja auch erst abiturient ^^

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Ich hätte eine Lösung bei welcher du jedoch die Summenformel für die Kubikzahlen benötigst. habt ihr die bereits per Induktions bewiesen ? Wenn nicht im Internet kannst du die HErleitung dafür finden sie ist nicht sonderlich schwer.

Wenn du an meiner Lösung interesiert bist dann kannich es als Foto uploaden.

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Kommentar von Karottenkern
04.10.2011, 22:52

Also gegeben ist folgendes:

k=1(unten)(summenzeichen)(oben)n k^3 = 0,25n^4 + 0,5n^3 + 0,25n^2

für 1 haben wirs bewiesen, jetzt schau ich mir das ganze für n = m+1 an, so komm ich dann auf die linke Seite meiner Gleichung oben (m+1=n+1 dementsprechend oben austauschen) und die rechte hab ich einfach durch bekanntes ersetzt.

Jetzt möchte ich die rechte Seite meiner, in der Ausgangsfrage gestellten Gleichung, umformen, dass sie identisch mit der linken wird (logisch;D). Wenn du dafür einen Lösungsweg hast würd ich mich freuen, wenn du ihn mir posten kannst, ich verzweifel langsam an der Aufgabe.

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Alles ausschreiben ist natürlich der sicherste Weg.

Was aber auch gehen sollte ist (n+1)^3 ausschreiben und die einzelnen Terme noch biquatratisch, kubisch und quadratisch ergänzen.

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Kommentar von Mute88
04.10.2011, 21:45

...wobei das im Endeffekt auf's gleiche rauskommt.

Du musst quasi zeigen, dass gilt:

0.25(4n^3+6n^2+4n+1)+0.5(3n^2+3n+1)+0.25(2n+1)=(n+1)^3

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Kommentar von Karottenkern
04.10.2011, 21:46

Kannst du mir zeigen wie ich das bewerkstellige? :D

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Kommentar von Karottenkern
04.10.2011, 21:46
  • doppelpost -
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Ich glaube ich bin da zudumm für und würde einfach alles wegstreichen, was links und rechts gleich ist.

Ansonsten einfach die Linke seite AUF den Bruchstrich, die Rechte darunter und dann den mathematischen Regeln Folgen?

Kann es sein, dass das was ich denke richtig ist? Das Ding sieht vielleicht komplex aus, aber es scheint mir da nur ein wenig umstellen dirn zu stecken!

Lieben Gruß, BERICHTE mir, ob ich richtig liege, ich will das vllt. auch mal studieren!

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Kommentar von Karottenkern
04.10.2011, 21:44

Im Prinzip liegst du richtig^^ Mein Problem ist nur, dass die linke Seite im Idealfall nicht angerührt werden soll, sprich ich soll nur die rechte Seite umformen. Leider weiß ich nicht wie ich das machen soll =/

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Hi also im Anhang ist mein Lösungsweg. Du stellst die Gleichung auf welche du beweisen möchtest für n+1 und musst diese dann beweisen mit Hilfe der Gleichung für n.

Wie du vieleicht sehen kannst (sorry für schlechte Bildquali und schlechte schrift) habe ich jedes n in der ursprünglichen Gleichung mit n+1 ersetzt. Dann habe ich auf der rechten Seite die Ursprungsgleichung eingesetzt. dabei entsteht der gleiche Term mit einer niedrigeren Ordnung aus n+1 wurde n ... zudem kamm ein (n+1)³ Term hinzu. Diesen Schritt kannst du nun bis auf n=0 weiterführen.... aud n wird n-1 und so weiter und es kommt jedes mal ein n³ ... (n-1)³ ... (n-2)³ Term hinzu und so weiter. Am ende Fallen die Terme mit den Brüchen davor ganz weg und es bleiben nur noch 3te Potenzen übrigen welche du mit der von dir angebenen Summenformel zusammenfassen kannst. Wenn du die rechte Seite zusammenfasst erhällst du den gleichen Ausdruck wie auf der linken Seite.

rechte Seite - (Mathematik, Physik) linke Seite - (Mathematik, Physik)
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Kommentar von kowekowe
05.10.2011, 00:08

es geht auch viel Leichter ohne Induktion wenn du oben die Summenformeln sofort einsetzt...

Also links Summe k³ von 0 bis n+1 und rechts Summe k³ von 0 bis n + dem Term (n+1)³

Also steht in der zu beweisenden Gleichung nix anderes als Summe von 0 bis n+1 is gleich der summe von 0 bis n + dem Term n+1 .... :D

Oder habe ich dich missverstanden und du musst die Summenformel für kubische Zahlen herleiten ? auf dieser Seite wird das gemacht ...

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/Allgemein/summenformel3.htm

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ich nehm mal deine gleichung mal 4 auf beiden seiten und bring die (n+1)^3 auf andere seite. dann siehts so aus:

n^4+2n^3+n^2 =(n+1)^4-2(n+1)^3+(n+1)^2

nun links n^2 ausklammern und das binom sehen; rechts (n+1)^2 ausklammern

n^2 (n+1)^2 = (n+1)^2 ((n+1)^2 -(n+1) +1)

nun durch (n+1)^2 teilen

n^2 =(n+1)^2 -2n -2

rechts ausmultiplizieren:

n^2 =n^2

qed

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Kommentar von kowekowe
05.10.2011, 01:45

Ist richtig jedoch hast du beim Aufschreiben paar Fehler gemacht ich korregiere....

n^2 (n+1)^2 = (n+1)^2 ((n+1)^2 -2(n+1) +1)

n^2 =(n+1)^2 -2n -1

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