Viereck mit maximalem Inhalt?

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4 Antworten

Meine sponate Idee: stelle den Flächeninhalt als Funktion der Seitenlängen als die Summe zweier Dreiecke dar, die sich eine Seite teilen. Und die Funktion dann maximieren.

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Kommentar von PWolff
17.12.2015, 10:02

Das Ganze dann noch für die drei wesentlich verschiedenen zyklischen Anordnungen der Seiten.

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Kommentar von Schachpapa
18.12.2015, 20:01

Gute Idee. Das bringt mich weiter. Danke. Dann kann man den Flächeninhalt der beiden Dreiecke mit der Heronschen Flächenformel  als Funktion der Länge der gemeinsamen Diagonale beschreiben und (hoffentlich) einen geschlossenen Ausdruck für das Maximum finden. Falls der Zusammenhang von Interesse sein sollte:
https://projecteuler.net/problem=538

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Inzwischen habe ich die Antwort gefunden: Das bei gegebenen Seitenlängen größte Viereck ist das Sehnenviereck. Die Flächenformel ist relativ einfach. Die Anordnung der Seiten sollte dabei eigentlich keine Rolle spielen. Wenn ich das Viereck an einer Diagonalen in zwei Dreiecke zerschneide und anders herum wieder dransetze hat sich ja der Flächeninhalt nicht verändert. Außerdem bleibt es ein Sehnenviereck und die Formel ändert sich nicht.

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Extremalproblem!!!!!

1) Hauptbedingung -> Maximaler FI
2) Nebenbedingung -> Umfang (Summe der bereits gegebenen Seitenlängen berechnen, dann Gleichung umstellen nach einer Variablen und einsetzen in die Hauptbedingung)

usw.....

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wenn die seitenlängen geben sind, ist die sich daraus ergebende fläche immer identisch, egal wie du sie anordnest.

das könnte man mathematisch beweisen, aber nehme es einfach als gegeben hin

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Kommentar von Schachpapa
17.12.2015, 00:16

Danke, stimmt aber leider nicht. Einfaches Beispiel: Ein Parallelogramm mit den Seitenlängen 3 und 5. Ist der Winkel in allen Ecken 90° so hast du ein Rechteck mit Inhalt 15. Alle anderen Parallelogramme mit gleichen Seitenlängen haben eine kleinere Höhe und damit eine kleinere Fläche. 

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