Verwirrt von Euler...

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3 Antworten

also:

es kursieren hier ja viele falsche gerüchte über die mathematik.

eine gleichung t1 = t2 (wobei t1 und t2 für beliebige terme stehen) wird dann in eine äquivalente gleichung umgeformt, wenn die neue gleichung aus der alten mit hilfe einer injektiven funktion hervorgeht. wichtig ist dabei aber auch, dass die terme t1 und t2 in diese injektive funktion eingesetzt werden dürfen. zB kann man den logarithmus nicht von negativen zahlen ziehen, aber ansonsten wäre der logarithmus eine einwandfreie äquivalenz-umformung.

also sei f eine injektive funktion: f(t1)=f(t2) ist eine äquivalente gleichung.

die typischen äquivalenzumformungen mit "+" und "*" etc.. sind sogar bijektiv. (diese gehen immer, man kann immer t1+1 = t2+1 als äquivalenzumformung ansehen, egal was t1 und t2 vorher war)

deshalb ist das wurzelziehen für positive reelle zahlen mit der wurzel-funktion, welche ja nur genau 1 der beiden wurzeln liefert (zB wurzeln von 4 sind -2 und 2, aber wurzel(4) = 2 per konvention) eine injektive funktion.

jetzt erwarte ich eure einwände: zB diesen.

x^2 = 4 hat die lösungen -2 und +2. nach dem wurzel-ziehen aber steht da x = 2. warum war das keine äquivalenzumformung? weil die unbekannte x nicht -2 sein durfte, weil auf negativen zahlen die wurzel-funktion nicht definiert ist.

d.h.: man stelle sicher, dass die terme der beiden seiten der gleichung auch wirklich stets zum definitionsbereich der injektiven funktion gehören.

das quadrieren ist KEINE äquivalenzumformung! denn aus x=2 wird nach quadrieren x^2 = 4 und das hat bekanntlich auch -2 als lösung. (man erkenne hieran den unterschied zwischen den "wurzeln einer zahl" und der "wurzel-funktion", welche per konvention eben so ist, wie sie ist. sie könnte zB auch an der x-achse gespiegelt werden!) die funktion x^2 ist schließlich auch keine injektive funktion! schränkt man auch hier die terme auf entweder den positiven oder negativen teil der parabel ein, so ist einem trotzdem nicht geholfen, da bei gleichungen der ausdruck x^2 = 4 immer die "wurzeln einer zahl" beschreibt und nicht das anwenden der "wurzelfunktion".

d.h.: wir haben gelernt. insofern im definitionsbereich, kann man auf die gleichungs-terme injektive funktionen anwenden.

die fehler des fragenstellers sind:

quadrieren erweitert den eigentlichen lösungsraum, aber deshalb müsste die richtige lösung zumindest noch irgendwo in der lösungsmenge stecken. es scheitert letztlich am reellen logarithmus..... exponentialfunktion und logarithmus im komplexen funktionieren eben anders.

tipp: wandle um: e^(i*phi) = cos(phi) + i * sin(phi) dann hat man für phi=Pi sofort -1 als ergebnis.

isbowhten 02.09.2013, 22:30

bonus:

wegen den problemen mit quadrieren gilt wie man in der schule gelernt hat:

wurzel ( x^2 ) = | x | (fallunterscheidung im betrag implizit mit drin, d.h.: wurzel ziehen mit 2 verschiedenen angepassten "wurzelfunktionen" möglich je nach fall!)

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Kann es an der Äquivalenzumformung liegen? Sicher bin ich mir nicht.

Beispiel:

x=1 Eine Lösung

x^2 =1 Zwei Lösungen (Keine Äquivalenzumf)

lnx^2 =ln1

2lnx=ln1

lnx=0:2

lnx=0

x=1

Quadrieren ist auch keine Äquivalenzumformung. Die Lösungen können vlt falsch oder nicht existent sein.

War das eine Hilfe? Forget it sonst.

clemensw 02.09.2013, 21:37

Quadrieren ist mWn eine Äquivalenzumformung. das Ziehen der Wurzel in R hingegen nicht -> deswegen kommen ja auch diese hirnverknotenden i ins Spiel...

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TradyMouse 02.09.2013, 21:45
@clemensw

Quadrieren ist eine ÄU?? Wie ist das mit

x=1 quadrieren

x^2 =1

Die erste Gleichung hat als Lösungsmenge 1, die zweite 1 und -1.Die beiden gleichungen sind nicht äquivalent. Quadrieren ist keine Äquivanlenzumformung.

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