Verschiebungsform bringen

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2 Antworten

Frage, kannst du schon ableiten?

Nun, aus der allgemeinen Form eines quadratischen Terms

r x ² + s x + t

liest du durch Vergleich mit deiner speziellen Funktion

die Parameter ab:

r = 1 / 2

s = - 3

t = 17 / 2

.

Wenn man nun weiß, dass für die Verschiebungsform

r * ( x + u ) ^ 2 - v

gilt:

u = s / ( 2 * r )

und

v = s ^ 2 / ( 4 * r ) - t

dann kann man u und v leicht bestimmen:

u = - 3 / ( 2 * ( 1 / 2 ) ) = - 3

v = ( - 3 ) ^ 2 / ( 4 * ( 1 / 2 ) ) - ( 17 / 2 ) = 9 / 2 - 17 / 2 = - 8 / 2 = - 4

.

Also lautet die Verschiebungsform deiner speziellen Funktion:

( 1 / 2 ) * ( x + ( - 3 ) ) ^ 2 - ( - 4 )

.

Dies kann man auch als

( 1 / 2 ) * ( x - 3 ) ^ 2 + 4

schreiben und hat somit die Funktion in der sogenannten Scheitelpunktform

a ( x - xs ) ² + ys

aus der man den Scheitelpunkt S ( xs | ys ) der Parabel direkt ablesen kann.

.

Und so kann man die Scheitelpunktform berechnen:

.

( 1 / 2 ) x ^ 2 - 3 x + ( 17 / 2 )

[ Faktor ( 1 / 2 ) ausklammern:]

= ( 1 / 2 ) * ( x ^ 2 - 6 x + 17 )

[innerhalb der Klammer die quadratische Ergänzung berechnen (hier: 9 ), addieren und gleich wieder subtrahieren:]

= ( 1 / 2 ) * ( x ^ 2 - 6 x + 9 - 9 + 17 )

[innerhalb der Klammer die ersten drei Summanden mithilfe der zweiten binomischen Formel zusammenfassen, die beiden anderen Summanden addieren:]

= ( 1 / 2 ) * ( ( x - 3 ) ^ 2 + 8 )

[Faktor ( 1 / 2 ) wieder hineinmultiplizieren:]

= ( 1 / 2 ) * ( x - 3 ) ^ 2 + 4

Fertig. Der Scheitelpunkt kann hier direkt abgelesen werden:

S ( 3 | 4 )

.

Schreibt man nun die Scheitelpunktform so:

( 1 / 2 ) * ( x + ( - 3 ) ) ^ 2 - ( - 4 )

dann hat man wieder die Verschiebungsform mit u = - 3 und v = - 4

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