Verketten von Abbildungen definitionsbereich?

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Für Definitionsbereich musst du (salopp gesagt) gucken, was du für x einsetzen darfst, ohne auf etwas undefiniertes oder ähnliches zu kommen.


Der Definitionsbereich von g°f ist einfach, das ist einfach R \ {0}. Durch 0 teilen ist undefiniert, und π/x liefert ausschließlich für x=0 eine Division durch 0.

f°g ist da ein bisschen schwieriger. Hier muss man auch wieder schauen, dass man nicht durch 0 teilt.
Man teilt hier durch 0, wenn sin(π*x) Null wird.

Also: Nullstellen von sin(π*x) bestimmen und dann die Schnittmenge von R und den Nullstellen bilden, das ist der Definitionsbereich.


Die Bildmenge ist die Menge aller Funktionswerte, die durch Einsetzen von Elementen des Definitionsbereich erreicht werden können. Aus der Schule kennt man dies meist als Wertebereich.


Formal:
Bild(f) = f(D) = { f(x) | x∈D}, wobei D der Definitionsbereich ist.

Es ist hier beispielsweise:

Bild(g°f) = Bild(sin(π/x))

=sin(π/D)

={ sin(π/x)) | x ∈ R\{0} }

sin(π/x) hat bei seinen Maxima und Extrema jeweils den Funktionswert 1 (bei Maximum) bzw. -1 (bei Minimum), das zeigt man leicht per Ableitung.

Zwischen den Extrema werden jeweils alle Werte zwischen -1 und 1 angenommen.

Für x gegen +unendlich und -unendlich geht die Funktion gegen 0, also ist hier auch alles okay. Oftmals liegen an den Rändern Fallen, wenn die Funktion bspw. dort gegen unendlich strebt.

Also ist Bild(g°f) = {-1 ; 1}


f°g überlasse ich bzgl. Definitions- und Bildmenge jetzt mal dir.

Super vielen Dank :)

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ehm, sicher dass du nicht cosinus anstatt von sinus meintest?

weil für jedes x ist sin(Pi*x)=0.
demnach wäre f(x)=0 mit deinem definitions und wertebereich.

obwohl 0 zwischen -1 und 1 liegt, von daher passt das.

stell dir das so vor:
als x wert kommt nur was aus dem definitionsbereich der innersten funktion in frage.
was der funktionswert sein kann, schreibt dir der wertebereich vor.
dieser wertebereich ist aber zugleich auch wiederum defbereich für die äussere funktion.

sind werteber innen und defbereich aussen verschieden, können nur werte aus der schnittmenge benutzt werden.

bspw:
f(g(x))
x kann aus R sein.
g(x) ist dann aus -1 bis 1
um das aber in g einsetzen zu können, muss es aber zugleich aus R/0 sein,
somit muss für das in f einzusetzende g(x) gelten:
-1<g(x)<0  oder 0<g(x)<1

Allgemein sinnvollste vorgehensweise:

guck dir wertebereich der inneren funktion an und defbereich der äusseren.
und guck deren schnittmenge an.
Das sind dann all die werte, die bei der inneren funktion als funktionswerte rauskommen können (damit die verkettung möglich ist; damit kannst du dann rückwärts überlegen welche x-werte möglich sind)
sowie auch gleichzeitig die werte, die du in die äussere funktion einsetzen kannst. (damit kannste dann überlegen welche funktionswerte für die äussere funktion im zusammenhang mit der verkettung rauskommen können)

hier am bsp:
oben haben wir für die schnittmenge gefunden:

-1<g(x)<0  oder 0<g(x)<1

für welche x-werte ist das erfüllt?
g(x)=sin(Pi*x)
sin ist dann irgendwas ungleich 0, wenn x keine ganze zahl ist.
Demnach ist R/Z letztlich dein Wertebereich für die Verkettung.

(R sind die reelllen Zahlen, Z die ganzen Zahlen)

Zurück zu unserer Schnittmenge

-1<g(x)<0  oder 0<g(x)<1

Nun interessiert uns, wenn wir Werte aus dieser Mengen in f eingeben, was da so rauskommen kann.

f(y)=1/y lautet die vorschrift

Wie wir uns leicht überlegen kann da, insofern wir einen passenden wert
zwischen 0 und 1 einsetzen, so ziemlich jede positive reelle Zahl rauskommen.

setzen wir zahlen zwischen -1 und 0 ein, können da so ziemlich alle reellen negativen zahlen rauskommen.
Das einzige, was da nie rauskommen wird, ist 0!

demnach ist die Wertemenge der Verkettung dann R/0, d.h. alle reellen Zahlen ausser 0.

Zusammengefasst ist somit
R/Z->R/0

fog = 1/sin(Pix) 

Der Vollständigkeit halber:
Gucken wir uns noch g(f(x))=gof an:
Wertebereich von f und definitionsbereich von g sind beide R, somit ist auch die schnittmenge R.
Hier müssen wir keine Überlegungen über auszuschließende Zahlen machen.
Einsetzen kannste x aus R/0, raus kommt y=f(x) element aus R.
Damit wiederum g(y)=g(f(x)) bestimmt, ergibt dir ein element aus [-1,1]

Somit

R/0->[-1,1]
gof = sin(Pi/x) 

Zitat: "...weil für jedes x ist sin(Pi*x)=0..."

Das ist falsch!

Gegenbeispiele:

  • sin(pi·0,5) = 1
  • sin(pi·1/3) = ½·√3 = 0,86603...
  • .....und noch unendlich viele andere

Den Rest deiner Antwort habe ich nur überflogen, ist aber richtig.

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@Zwieferl

Mittlerweile frage ich mich auch was ich da geschrieben habe O_o

Irgendwie war ich auf dem Trip wie wenn nur ganzzahlige Zahlen für x zugelassen wären.

0

Vielen Dank für die Erklärung :) kannst du mir vllt auch noch sagen ob fog R\Z -> R\0 und gof R\0 -> [-1,1] surjektiv sind ?

Fog würde ich nein sagen weil y zwischen -1 u 1 nicht angenommen wird 

gof gibt es kein y 0 also auch hier würde ich nein sagen 

Ist das richtig ?

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@lalilaaa11

Ich muss nochmal meinen alten Kommentar durchgehen, da stimmt wohl so manches nicht O_o

Also:
f=1/x ist, genau genommen, von R/0 nach R/0.
1/x wird nie 0 ergeben , unabhängig vom x-wert.

g=sin(Pi*x) ist von R nach [-1,1], also die übliche Wertemenge vom Sinus.

Sei x Element aus R/0.
nun ist y=f(x) ein Element von R/0.
Da R/0 eine Teilmenge von R ist, kann man y problemlos in g(y) einsetzen.
da wir lediglich den Wert y=0 (im vergleich zum ursprünglichen Definitionsbereich von g) weggelassen haben, für den g(y)=sin(Pi*0)=0 gelten würde, wir aber bspw. für x=2 trotzdem den Wert g(y)=0 treffen, bleibt es beim ursprünglichen Wertebereich von g.

Somit also g°f=g(f(x))
von R/0 nach [-1,1].

nun zu f(g(x)).

Sei nun x aus R. Dann ist y=g(x) aus [-1,1].
Wenn wir nun ein y aus [-1,1] in f reinstecken, ist zu erwarten dass wir ein f(y) erhalten aus [-1/1,1/1]=[-1,1].

Wählen wir ein y aus [-1,0), dann ist g(y) irgendeine reelle zahl <=-1.
setzen wir y aus [0,1] ein, so ist g(y) eine reelle Zahl >=1.

(ja, ich musste das gerade ernsthaft in geogebra nachgucken was genau bei bspw x=0,1234 passiert. Ich schäme mich dafür)

Zusammengefasst:
Stammt y aus [-1,1], dann ist g(y) entweder <=-1 oder >=1.

Da dies immer noch ne Teilmenge von R/0 ist, passt das.

Somit ist f(g(x))=f°g
R->{x aus R|x<=-1 oder x>=1}

Sollte nun so passen, hoffe ich mal.

Betreffend ...jektivität:
g(x)=sin(Pi*x) ist surjektiv da jedem y=g(x) mehrere x werte entsprechen.

f(x)=1/x sollte meines erachtens bijektiv sein da jedem y wert ein x wert entspricht. x=0 ist nicht erlaubt, genauso y=0.

Und für alle anderen werte dürfte es eine 1 zu 1 beziehung sein, von daher bijektiv.

Das macht das ganze relativ einfach:

Surjektiv heißt ja: du wirfst eine gewisse zahl an x werten rein und kriegst eine geringere anzahl an y werten raus. (kann auch gleich sein, ist hier aber nicht der fall)

bijektiv heißt: anzahl an x rein, gleich anzahl an y raus.

nun schauen wir mal :

g(f(x)): wir schmeißen ne anzahl x rein, da f bijektiv ist, kriegen wir ne gleiche zahl an y raus. schmeißen wir die y in g, kriegen wir eine geringere menge an z=g(y) raus.

insgesamt betrachtet, von anfang bis schluss, verringert sich also die anzahl.
von daher surjektiv.

f(g(x)): wir schmeißen ne anzahl x rein, da g surjektiv, kommt ne geringere anzahl y raus. diese anzahl y werfen wir in f und erhalten die gleiche anzahl an z zurück.
in summe also weniger geworden, von daher ebenso surjektiv.

Gleich ne Warnung wo diese vereinfachte sichtweise nicht funktioniert:
wenn du eine surjektive und eine injektive funktion hast.

da wirfst du dann x rein, kriegst ne geringere zahl y raus. steckst du die in die 2. funktion, kommt da dann aber wieder eine größere zahl an z raus.

da käme es dann auf das "wie viel weniger" und " wie viel mehr" an. geht also nicht so einfach wie oben.

in der prxis würde man einfach die verkettungsfunktion hinschreiben und, wie oben auch, sich defbereich und wertebereich der verkettung angucken.. und überlegen welches größer oder kleiner ist oder ob beide gleich sind.

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