Vergleichsoperatoren bei komplexen Zahlen?

4 Antworten

Heißt es, dass die Gleichung unabhängig vom Imaginärteil ist oder, dass der Imaginärteil gleich null sein muss oder etwas ganz anderes?

Es gibt hier keinen Imaginärteil, denn |z – 2| ist ein Betrag und damit eine Reelle Zahl, genauer gesagt eine reelle, nichtnegative Zahl (ich mag das Wort nicht, ich würde sie lieber »positiv« und die positiven »echt positiv« nennen).

Der Betrag einer Komplexen Zahl

z = x + iy

ist durch

|z| = √{z·z̄} = √{(x + iy)(x – iy)} = √{x² – i²y²} = √{x² + y²} =: r

definiert, und durch

φ := arccot(x/y)        (für y ⪈ 0)
φ := arccot(x/y) + π (für y ⪈ 0)
φ = 0                       (für y = 0, x ⪈ 0)
φ = π                       (für y = 0, x ⪇ 0)

kann man die Zahl auch in Polarkoordinaten als

z = r·exp(i·φ)

darstellen.

Die Vergleichsoperatoren '⪇' bzw. '<', '≤', '=', '≥' und '>' bzw. '⪈' sind nur für reelle Zahlen definiert, da dies ein Vergleich bezüglich einer eindimensionalen Anordnung ist, und allgemeine Komplexe Zahlen sind ja nicht in einer Richtung angeordnet.

Natürlich könnte man theoretisch eine komplexe Zahl größer oder kleiner als eine andere nennen, wenn beispielsweise der Realteil größer ist, aber dann bedürfte es eines eigenen Zeichens für »gleich groß«, denn es gäbe ja dann in diesem Sinne »gleich große« Zahlen, die aber nicht gleich sind.

Eine Definition von 'größer' oder 'kleiner' über den Betrag wäre nicht konsistent mit der Definition für die Reellen Zahlen, wo negative Zahlen als umso kleiner gelten, je größer ihr Betrag ist.

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In diesem Fall bedeutet |z – 2| < 3, dass

√{(x–2)² + y²} < 3

und damit

     (x–2)² + y² = x² – 4x + 4 + y² < 9
⇔  x² – 4x + y² < 5

ist.

Das ist der Betrag, den du bei einer Komplexen Zahl mit Wurzel aus der Summe der Quadrate von Realteil und Imaginärteilbetrag berechnest.

Zahl a+ib -> Betrag sqrt(a^2+b^2)

Dieser Betrag entspricht der Pfeillänge, wenn du die Zahl im Koordinatensystem graphisch darstellst.

Wenn z=a+ib

dann ist natürlich

z-2=a-2+ib

und der Betrag

|z-2| = sqrt( (a-2)^2 + b^2)


2

Etwas anderes: |z|=sqrt[Re(z)^2+Im(z)^2]

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