Vektorrechnung: Abstand Punkt --> Ebene. Herleitung der Formel

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2 Antworten

Die Betrachtung des Cosinus ist zum Verständnis der Hesse'schen Normalenform nicht erforderlich. (Auch die axiomatische Herleitung des Skalarprodukts kommt ohne Winkelfunktion aus.)

Ich hoffe, keine Verwirrung zu stiften - aber es geht wirklich einfacher.


Es reicht, sich Folgendes klarzumachen.

  • Sind zwei Vektoren kollinear, ist ihr Skalarprodukt das Produkt ihrer Beträge (und genau dann negativ, wenn die Vektoren entgegengesetzt orientiert sind). (1)

  • Sind zwei Vektoren zueinander senkrecht, ist ihr Skalarprodukt null. (2)

Sei nun in deine Zeichnung Q der Höhenfußpunkt von R auf die gezeichnete Ebene. Dann gilt für den Betrag des Skalarprodukts (mit zwei Punkten sind die entsprechenden Vektoren bezeichnet):

| n0 * PR | =

| n0 * (PQ + QR) | =

| n0 * PQ + n0 * QR | =

mit (2):

| 0 + n0 * QR | =

mit (1):

| n0 | * | QR | =

1 * d = d;

einfach, aus deiner Zeichnung abzulesen, und ganz ohne Cosinus.

Das ist in diesem Fall eine Defintionsgleichung für den eingeschlossenen Winkel. Dieser wird im Regelfall über das Skalarprodukt und das Produkt zwischen zwei natürlichen Zahlen definiert.

[Es ist nicht immer gleich alles Herleitung - Erst Gleichungen verstehen, dann Herleitungen.]

VG, dongodongo.

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