Vektorraum, Unabhängigkeit zeigen?

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Sieht bis jetzt gut aus (auch wenn du das i durch ein n ersetzen solltest).

Du weißt schon, dass die v_j linear unabhängig sind (per Voraussetzung). Was kannst du damit aus der letzten Gleichheit folgern?

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Mathestudium

dass der letzte Ausdruck vor =0 gleich 0 ist, wenn r_1+r_2+...+r_i=0, oder? Ich bin mir da nicht gaz sicher.

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@Frage1213

Machen wir zur Vereinfachung ne kleine Umbenennung. Ich definiere

λ_1 = (r_1 + r_2 + ... + r_n),

λ_2 = (r_2 + ... + r_n),

...

λ_n = r_n.

Dann steht da plötzlich

λ_1v_1 + λ_2v_2 + ... + λ_nv_n = 0.

Und jetzt beachte, dass die v_j linear unabhängig sind. Das heißt per Definition...?

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@Frage1213

Nicht verwirren lassen, der Like war versehentlich. Tut mir leid.^^

Der 2. nicht mehr. :)

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@MagicalGrill

dann bin ich fertig? Irgendwie müsste ja r_1=...=r_n=0 sein, oder nicht? Nicht die Summen.

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@Frage1213

Das ist richtig, wir sind noch nicht fertig. Im Moment steht da in ungekürzter Form:

λ_1 = 0,

λ_2 = 0,

...

λ_n = 0.

Und wenn du jetzt die λ_j wieder durch ihren Term ersetzt, was steht dann da?

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@Frage1213

Ok, also haben wir schonmal gezeigt, dass r_n = 0 sein muss! Das ist doch ein Anfang ;)

Aber was folgt dann mithilfe der vorletzten Gleichung?

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@MagicalGrill

r_{n-1}+r_n=0, wir wissen aber, dass r_n=0, also auch r_{n-1}=0 und dann machen wir sukzessive so weiter und haben r_1=r_2=r_3=...=r_n=0? :)

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@MagicalGrill

Mit Voraussetzung r_1=...=r_n=0 zu folgern, dass v_1r_1+...+v_nr_n=0 ist trivial, das muss ich aber auch dazuschreiben, oder?

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@Frage1213

Wenn das zu eurer Definition gehört, ja. In unserer Vorlesung gehörte nur die "interessante" Implikation zur Definition.

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@MagicalGrill

Mhm, müsste ich tatsächlich nachschauen. Ich habe das aus meinem Lehrbuch!

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