Vektorräume, Polynome, Basis

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3 Antworten

Ein Vektorraum ist die äußere Struktur eine kommutativen Gruppe über einem Körper.

Also ist zu zeigen, dass die Polynome eine kommtative Gruppe (bzg. der Addition) sind, (unbeschränkte Durchführbarkeit der Addition / Abgeschlossenheit, Assoziativität, Existenz des additiv neutralen und des additiv inversen Elements; Kommutativität).

Ferner ist zu zeigen, dass die Operationen, die aufgrund der Körperaxiome für die Elemente von R definiert sind, mit allen Operationen dieser kommutativen Gruppen verträglich sind (gemischte Assoziativität, Distributvität des Gruppenelements, Distributivität des Skalars, Wirkung des multiplikativ neutralen Skalars).

Übersichtliche Zusammenstellung der zu zeigenden Behauptungen in >http://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum .

XtremeBratmaxe 03.12.2013, 16:02

neeh das ist damit leider nicht gemeint..

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Was ist außerdem noch zu zeigen?

dass diese Basis den definierten Polynomenraum aufspannt. Das ist eigentlich sofort ersichtlich, muss aber der Vollständigkeit halber erwähnt werden.

prüfen, also lambda•x^0+xeta•x^1+kappa•x^2+tau•x^3=0

zu zeigen wäre damit, dass alle "lambdas"(ich werde sie der einfachheit halber so nennen) verschwinden. Man muss dabei bedenken, dass Polynome Funktion auf R sind, und damit muss diese Gleichung für jede reelle Zahl x aus R gelten. Um zu zeigen, dass diese Gleichung lediglich für lambdas=0 gilt, setze 4 beliebige x-Werte in die Gleichung ein und löse danach ein GLS aus 4 solchen Gleichungen.

XtremeBratmaxe 03.12.2013, 16:11

zu Zeigen wäre also noch, dass span(Basis)= lambdax^0+xetax^1+kappax^2+taux^3= R-Vektorraum und des Weiteren das Gleichungssystem auflösen,weil man ja zeigen muss,dass die basisvektoren linear unabhängig sind, ansonsten wäre es ja keine basis.Und span(X^0,x^1.....)= VR zeigen, um auch formal bewiesen zu haben,dass die es sich überhaupt um den gefragten VR handelt?

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Kungfukuh 03.12.2013, 18:16
@XtremeBratmaxe

Ausgehend von deiner Fragestellung muss auch nachgeweisen werden, dass es sich bei R[x] um einen Vektorraum handelt.

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(Nach Lektüre deines Kommentars:) Die lineare Unabhängigkeit Potenzen als der Basiselemente lässt sich recht einfach dann zeigen, wenn du X mit komplexen Zahlen identifizierst, denn dann wird eine beliebige angenommene lineare Abhängigkeit falsch, wenn du X mit mehr als 4 verschiedenen Zahlen identifizierst (Fundamentalsatz der Algebra).

Wenn du keine solche Identifikation unternimmst und die Potenzen als "Black box" bestehen lässt, wüsste ich nicht, wie du argumentieren willst; die Multiplikationseigenschaften der Polynome als solche beweisen nichts zur Vektorraumstruktur.

XtremeBratmaxe 03.12.2013, 17:19

mit komplexen zahlen ist da überhaupt nichts. Ich wollte eigentlich nur wissen, wie man genau die lineare unabhängigkeit der basis zeigt, aber die frage hat sich mittlerweile schon geklärt.

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psychironiker 03.12.2013, 17:44
@XtremeBratmaxe

Dann interessiert mich, welche Eigenschaft der Vektoren du dann verwendest (falls nicht, dass X eine komplexe Zahl bedeuten könnte).

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FataMorgana2010 03.12.2013, 22:35

X ist hier ein formaler Bezeichner. Da ist gar nix mit Zahlen, die man einsetzt.

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psychironiker 04.12.2013, 07:44
@FataMorgana2010

Welche Voraussetzung ist dann überhaupt gegeben, auf deren Grundlage eine lineare Unabhängigkeit der Potenzen von X nachgewiesen werden könnte?

Augenscheinlich soll diese Unabhängigkeit hier nicht einfach (axiomatisch) gefordert werden; dann würde mir das sofort einleuchen. "Von wo nach wo" wird hier argumentiert?

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